ルートの微分の仕方

√１－ｘ２（ルート１マイナスｘの二乗）の微分の仕方を教えてください。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/12/19 16:53

こんにちは。

平方根は、１／２乗であること、
そして、「合成関数の微分」（教科書に書いています）
を知ることで解決できます。

１－ｘ^2　＝　ｔ　と置きます。

すると、
ｄｔ／ｄｘ　＝　－２ｘ
ですよね？

そして、与式をｙと置けば、
ｙ　＝　√ｔ　＝　ｔ^(1/2)　なので、
ｄｙ／ｄｔ　＝　１／２・ｔ^(-1/2)
　＝　１／（２・√（１－ｘ^2））

よって、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ
　＝　１／（２・√（１－ｘ^2））・（－２ｘ）
　＝　２ｘ／√（１－ｘ^2）

ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

丁寧にありがとうございます。

教科書って数ⅢＣですか？
もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m
大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって…

補足日時：2009/12/19 22:01

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2009/12/19 16:53

０です(^_-)

変数がないと微分は常にゼロになります。

この回答へのお礼

申し訳ありませんが、答えは０ではないです(T_T)

お礼日時：2009/12/19 22:03

No.3 回答者： teruta 回答日時： 2009/12/19 16:55

ルートは2分の１乗と書く事ができます。

なので
f=(1－x^2)^(1/2)の微分をすればいいわけです
1－x^2をAと置くと、合成関数の微分法を用いて
f(A(x))のx微分=fのA微分×Aのx微分
fのA微分=(A^1/2)'=(1/2)×A^(-1/2)
Aのx微分=(1－x^2)'=-2x
これをかけあわせて
f'(x)=-2x×(1/2)×A^(-1/2)
=-x×A^(-1/2)
マイナス乗は分数で、1/2はルートなので戻すと
=-x/√A
Aを元に戻して、微分の結果は
=-x/√(1－x^2)
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます(^O^)／

お礼日時：2009/12/19 22:05

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2009/12/19 16:55

すみません。

最後、頭にマイナスを付け忘れました。
正しくは、－２ｘ／√（１－ｘ^2）　です。

No.5 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/19 19:44

合成関数の微分を使うにしても、

n が自然数でないときにも
(d/dx) x~n = n x~(n-1) が成り立つ
ことには、説明が要るかもしれません。

｛√(1-(x+h)~2) - √(1-x~2)｝/h の
分母を有理化してから、
h→0 の極限を考えてみましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2009/12/19 22:06

No.6 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/19 22:15

いけね。

「分子の有理化」でした。

No.7 回答者： sanori 回答日時： 2009/12/19 22:37

Ｎｏ．１、４の者です。

＞＞＞教科書って数IIIＣですか？
＞＞＞もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m

そうでしたか。
ちなみに、私が高校生の頃は、微分は数ＩＩＩからだったと思います。
（年がバレますが）

＞＞＞大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって…

はい。私は理系ですけど、同感です。
大学の先生や教科書は「かっこつけた説明」しかしてくれない場合が多いので、困りますよね。

ちなみに、ｘ＝sinｔ　や　ｘ＝cosｔ　と置いてみるのも面白いですよ。（符号がちょっとややこしくなりますが）


なお、Ｎｏ．５様のご指摘は全くそのとおりだと思います。

√ｘ　の形の微分だけ考えてみましょうか。
途中で、（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　＝　ａ^2　－　ｂ^2　が登場します。

（√（ｘ＋ｈ）　－　√ｘ）／ｈ
　＝　（√（ｘ＋ｈ）　－　√ｘ）（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）／｛ｈ（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）｝
　＝　（（ｘ＋ｈ）　－　ｘ）／｛ｈ（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）｝
　＝　ｈ／｛ｈ（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）｝
　＝　１／（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）

よって、
（ｘ^(1/2)）’　＝　（√ｘ）’　＝　lim[h→0] （√（ｘ＋ｈ）　－　√ｘ）／ｈ
　＝　lim[h→0] １／（√（ｘ＋ｈ）　＋　√ｘ）
　＝　１／（√ｘ　＋　√ｘ）
　＝　１／（２・√ｘ）
　＝　１／２・ｘ^(-1/2)

というわけで、
（ｘ^(1/2)）’　＝　１／２・ｘ^(-1/2)
となりますので、１／２乗の微分を整数乗と同じようにやってよいことがわかりました。

この回答へのお礼

とても詳しく教えていただき、本当にありがとうございます！

数ⅡＢで微分は習いましたが、ルートの微分はせずに、簡単なものしかやりませんでしたm(__)m

大学の教科書はある意味いじめですよね(笑)

もしまた分からない問題が出てきたら、質問させてもらいますので、そのときはよろしくお願いします！

お礼日時：2009/12/19 23:00