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No.1
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>2, y´siny=cosx (2cosy-(sin^2)x) z=cosy とおく
の解法については,以下の通りです.
y と z を x の関数と考えて,z=cosy とおき,この両辺を x で微分すると
z'=-y' siny
です.これら, y' siny =-z' と cosy =z をもとの式に入れると
z'+ 2z cosx-(cosx)(sin x)^2 =0
となり,z についての1階線形常微分方程式になります.
1階線形常微分方程式 dy/dx + p(x)y + q(x) = 0 の一般解は公式で
y={exp(-∫p(x)dx)}[c-∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]
で与えられていますから,この y を z に読み替えて,
z'+ 2z cosx-(cosx)(sin x)^2 =0 を上記の一般解の公式に入れます.
すると以下になります.
z={exp(-∫2cos x dx)}[c-∫{(-(cosx)(sin x)^2)・exp(∫2cos x dx)} dx]
これを積分計算して整理してゆくと以下のようになります.
少し複雑ですが読みとって下さい.
z={exp(-2sin x)}[c-∫{(-(cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx]
まず,∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx について,
部分積分法を用いて計算します.
∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx=
=(sin x)^2・∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx
-∫{2(cosx)(sin x)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx}dx
∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx=
=(sin x)^2・(1/2)exp(2sin x)
-∫{2(cosx)(sin x)(1/2)exp(2sin x)}dx
∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx=
=(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x)
-[(1/2)(sin x)・exp(2sin x)-(1/2)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx]
∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx=
=(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x)
-(1/2)(sin x)・exp(2sin x)+(1/4)exp(2sin x)
∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx=
=(1/2)exp(2sin x){(sin x)^2-(sin x)+(1/2)}
これを z= の式にいれると
z={exp(-2sin x)}[c+《∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx》]
z=c{exp(-2sin x)}+(1/2){(sin x)^2-(sin x)+(1/2)}
以上の計算から z は
z=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)]
となりました.c は積分定数です.この式に z=cosy をいれると
cos y=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)]
となります.これが一般解です.この一般解が正しいかどうかの
検算を以下に書いておきます.
一般解
cos y=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)]
の両辺を x で微分すると
-y'(sin y)=c(-2cos x)・{exp(-2sin x)}
+(1/2)[2(cos x)(sin x)-(cos x)]
一般解の式を用いて c を消去すると
-y'(sin y)=(-2cos x)・[cos y-(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)]]
+(1/2)[2(cos x)(sin x)-(cos x)]
これを計算して整理すると
y'(sin y)=(cos x)〈2cos y-(sin x)^2+(sin x)-(1/2)
-(sin x)+(1/2)〉
y'(sin y)=(cos x)〈2cos y-(sin x)^2〉
となり,もとの与えられた微分方程式になるので,計算した一般解は正しいです.
(2000字を越えるので,計算途中は省略しました)
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