xについての方程式x^3＋ax^2＋bx＋8=0が3つの実数解α,β,

xについての方程式x^3＋ax^2＋bx＋8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。

解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
　　　　　等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
　　　　　等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ　　　　　ればならないみたいです。

　　　　　これと、解と係数の関係よりα＋β＋γ=－a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　αβ＋βγ＋γα=b　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　αβγ=－8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら　　　　　しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
　　　　　わかる方いましたら、ぜひ教えてください！！お願いします！！　

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/12/29 13:12

＞等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α＾2＝βγ、or、β＾2＝αγ、or、γ＾2＝αβ。
従って、（α＾2-βγ）*（β＾2-αγ）*（γ＾2-αβ）＝0　‥‥(1)　である事が必要十分条件。
αβγ＝-8　からαβ＝-8/γ、βγ＝-8/α、αγ＝-8/β　であるから　(1)に代入すると　（α＋2）*（β＋2）*（γ＋2）*（α＾2-2α＋4）*（β＾2-2β＋4）*（γ＾2－2γ＋4）＝0となる。
（α＾2-2α＋4）*（β＾2-2β＋4）*（γ＾2－2γ＋4）＞0　より（α＋2）*（β＋2）*（γ＋2）＝0　つまり　少なくても1つの解は　-2であるから原式に代入すると、b＝2a　‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も　2γ＝α＋β、or、2β＝γ＋α、or、2α＝β＋γ であるから　（2γ-α-β）*（2β-γ-α）*（2α-β-γ）＝0　‥‥(3)
α＋β-2γ＝（α＋β＋γ）-3α＝-（3α＋a）等より、（a＋3α）*（a＋3β）*（a＋3γ）＝a＾3＋3（α＋β＋γ）a＾2＋9（αβ＋βγ＋γα）a＋27αβγ＝0.
解と係数から、2a＾3-9ab＋216＝0　→　(2)から　a＾3-9a＾2＋108＝0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、（a＋3）*（a-6）＾2＝0　となる。　以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

No.4 回答者： izumi_pi 回答日時： 2009/12/29 13:21

文字化けしていてすみません。

式に番号を付けて、順に求めていきましょう。

等差数列より、２β＝α＋γ　―――(ア)　　等比数列より、β^2＝αγ　―――(イ)
解の公式より
α＋β＋γ＝-a　―――(ウ)　　αβ＋βγ＋γα＝b　―――(エ)　　αβγ＝-8　―――(オ)
とします。

(ア)と(ウ)より、３β＝-a　―――(カ)　　と(オ)より、β^3＝-8　―――(キ)
(キ)より β＝-2 がわかる。　そして、これを(カ)に代入して、 a＝６ だとわかる。

β＝-2　と　a＝６　を(ウ)(オ)に代入して、

α＋γ＝－４　―――(ク)　　αγ＝４　―――(ケ)

となるので、(ク)(ケ)より、α＝γ＝-2　であることがわかります。

最後に(エ)に代入すれば、　b＝１２　となり、全て求めることができます。

No.3 回答者： izumi_pi 回答日時： 2009/12/29 13:15

式に番号を付けて、順に求めていきましょう。

等差数列より、２β＝α＋γ　―――?　　等比数列より、β^2＝αγ　―――?
解の公式より
α＋β＋γ＝-a　―――?　　αβ＋βγ＋γα＝b　―――?　　αβγ＝-8　―――?
とします。

?と?より、３β＝-a　―――?　　?と?より、β^3＝-8　―――?
?より β＝-2 がわかる。　そして、これを?に代入して、 a＝６ だとわかる。

β＝-2　と　a＝６　を???に代入して、

α＋γ＝－４　―――?　　αγ＝４　―――?

となるので、??より、α＝γ＝-2　であることがわかります。

最後に?に代入すれば、　b＝１２　となり、全て求めることができます。

No.1 回答者： izumi_pi 回答日時： 2009/12/29 13:11

式に番号を付けて、順に求めていきましょう。

等差数列より、２β＝α＋γ　―――?　　等比数列より、β^2＝αγ　―――?
解の公式より
α＋β＋γ＝-a　―――?　　αβ＋βγ＋γα＝b　―――?　　αβγ＝-8　―――?
とします。

?と?より、３β＝-a　―――?　　?と?より、β^3＝-8　―――?
?より β＝-2 がわかる。　そして、これを?に代入して、 a＝６ だとわかる。

β＝-2　と　a＝６　を???に代入して、

α＋γ＝－４　―――?　　αγ＝４　―――?

となるので、??より、α＝γ＝-2　であることがわかります。

最後に?に代入すれば、　b＝１２　となり、全て求めることができます。