数学I ２次不等式【応用】

aを定数として、2次関数f（x）=x^2+4x-a^2+5aがある。
x>0を満たすすべてのxの値に対してf（x）>0となるようなaの値の範囲を求めよ。

解答には「放物線y=f（x）の軸は直線x=-2であるから、x≧-2の範囲でf（x）の値は増加する。したがって求める条件はf（0）≧0」とあるんですけど
ぶっちゃけ何を言ってるのか分かりません（＾＾；）
f（0）≧0がなんなのかも・・・ （ちなみに答えは0≦a≦5です）

この高１の冬休みの間に少しでも苦手な数学を克服したいので、皆様お力の方お貸しくださいm（_ _）m
よろしくおねがいします＞＜；

ちなみに青チャートの問題です

No.3 回答者： debut 回答日時： 2009/12/30 12:31

No1です。

補足に対する回答。

すべてその通りです。ＯＫＯＫ．

数学の克服、がんばって！

No.2 回答者： st_comp 回答日時： 2009/12/30 11:23

y=a(x+b)^2+cの時、放物線y=f(x)の軸は-bとなります。

(これは放物線の定義から)。
また、今回の数式ではaは1ですので、放物線は軸で最も低い値になります。
こいつを利用すると、今回の式はf(x)=(x+2)^2-4+a^2+5aとまとめられるため、放物線「y=x^2+4x-a^2+5a」では放物線上の頂点が一番yの値が低くなるのだな、と推測できます。

今回の数式f（x）=x^2+4x-a^2+5aは放物線y=x^2+4x-a^2+5aとは「何の関係もない」式なのですが、y=f(x)として図に描き表すことで、数値の関係性が見えやすくなります。そのため、数式計算のヒントとして活用できるのです。式中にヒントが隠されているのだから、惜しみなく使ってやろうというワケ。

で、元の式に戻ると、f(x)=x^2+4x-a^2+5aは、xが-2の時に最低値を取ります。(さきほど示したとおり)。
元々の問題文の回答条件がf(x)>0でしたが、ここにx=0を代入してやると、f(0)≧0となります。つまり、
x^2+4x-a^2+5aが0より大きくなるようなaの範囲を決めてね、と問題文は言っているのです。(ああ長い)。xが0以上の時、ヒントからf(x)は増える一方ですので、xが0より大きくなることでf(x)>0の条件が崩れることはありません。これで一安心ですね。

ここまで分かれば後は簡単。(x+2)^2-a^2+5aのxが0になるようなaの範囲を求めればいいのです。0より大きい場合や小さい場合は考えなくていいのですから、x=0を代入してしまいましょう。
-a^2+5aの値が0以上になるのは、0≦a≦5の範囲です。なので、答えは0≦a≦5というわけです。

参考になりましたでしょうか。

この回答への補足

おおおおおおおおおおお
すごいですｗｗ
学校の先生に聞いても分からなかった所がこうもあっさりと！
感謝の気持ちでいっぱいです＞＜
ありがとうございます！

補足日時：2009/12/31 18:15

No.1 回答者： debut 回答日時： 2009/12/30 11:15

２次関数の問題はグラフがイメージできれば簡単です。

例えば、ｙ＝ｘ^2＋４ｘ＋１はすぐにかけますか？
ｙ＝(ｘ＋２)^2－３　と変形して、(－２,－３)に頂点をもつ
下に凸の放物線になるからこんな形とか。
どんな２次関数でもグラフをすぐに描けるように練習してください。


さて、問題の関数を考えると、f(x)=(x+2)^2-4-a^2+5aと変形できる
ので、その放物線の頂点のｙ座標ははっきりしませんが、ｘ座標は
－２だとわかります。（ｘ＝－２、ｙは適当な所に点をとって、
下に凸な放物線を描きます）

すると、ｘがー２より大きい所のグラフは右に行くにしたがって
上がっていくことがわかります。

そこで問題の「ｘ＞０のすべてのｘに対してf(x)＞０」を考えれば
グラフがｙ軸と交わる点(つまりｘ＝０のときのf(x)の値、つまり
f(0)のことですが）が０以上の所にありさえすれば、あとはf(x)の
値はどんどん増加していくのみなのでこれでＯＫと。

だから、f(0)≧0を解くわけです。
f(0)=-a^2+5a だから、
-a^2+5a≧0→a^2-5a≦0→a(a-5)≦0→0≦a≦5

意味不明なところがあったなら補足に。

この回答への補足

なるほど!!!　なんとなくですが理解できました；
ですがこの理解が合ってるのか分からないので検討お願いします。
つまり、x>0のすべての範囲においてf（x）>0となるためには
（0,f（0））の点においてf（0）>0であればy軸通過後の放物線はどんどん右上に増加していくので必然的にx>0の範囲（?）においてすべてf（x）>0となる
また、f（0）=0である時も原点（0 , 0）を通って右上に上がっていくグラフは必然とx>0の範囲においてf（x）>0となるので
f（0）≧0という条件を求めることができる。
また問題文がx≧0のときだったら
x≧0においてf（x）>0となるためには（0,f（0））の点において
f（0）>0であればy軸通過後の放物線はどんどん右上に上がっていくので必然とx≧0の範囲ではf（x）>0となる。
また、f（0）=0のとき、これはx>0の範囲においてはf（0）>0を満たしてはいるが、x≧0の範囲だとxに0が含まれているので
f（0）=0のときだと放物線のグラフが原点（0.0）を通過してしまい
問題のf（x）>0となるという条件に反する。
よって、求める条件はf（0）>0　と言うことである。
ってことですかね？
あと問題にある「x>0を満たすすべての値に対してf（x）>0」というのは　放物線がx>0の範囲においてグラフがx軸と交わってはならない。（すなわちx軸と共有点を持たない）ということでしょうか？

補足日時：2009/12/30 11:20