三重積分の極座標変換の問題

∫∫∫z dxdydz
(x^2+y^2+z^2≦1,z≧0)
この問題の解きはじめに
x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて
dxdydz=r^2sinθdrdθdφ
範囲は0<r≦1,0≦θ≦π/2,0<φ≦2πと置きましたが
範囲はこれでよろしいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2010/01/02 10:03

#1です。

>π/2になったのですが、略解ではπ/4となっています。
これは略解が間違っているのでしょうか？

略解のπ/4が正しいです。
π/2の方が間違いです。
sinθcosθ=(1/2)sin(2θ)の「1/2」を転記時に抜けてしまっていました。

> ={∫[0,1](r^3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2](sin(2θ)dθ}
> =(1/4)(2π)(1/2)2 =π/2

={∫[0,1](r^3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2] (1/2)(sin(2θ)dθ}
=(1/4)(2π)(1/4)2 =π/4

この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変助かりました。^^

お礼日時：2010/01/02 12:18

No.1 回答者： info22 回答日時： 2010/01/02 02:57

>範囲は 0<r≦1, 0≦θ≦π/2, 0<φ≦2πと置きましたが

>範囲はこれでよろしいのでしょうか？

D'={(r,θ,φ)|0≦r≦1, 0≦θ≦π/2, 0≦φ≦2π}
で良いと思います。

∫∫∫[D] z dxdydz=∫∫∫[D'](r~3)cosθsinθdrdθdφ
={∫[0,1](r~3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2]sin(2θ)dθ}
=(1/4)(2π)(1/2)2 =π/2

この回答への補足

私も一応この問題を解いてinfo22さんと同じπ/2になったのですが、略解ではπ/4となっています。
これは略解が間違っているのでしょうか？

補足日時：2010/01/02 03:24