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∫∫∫z dxdydz
(x^2+y^2+z^2≦1,z≧0)
この問題の解きはじめに
x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて
dxdydz=r^2sinθdrdθdφ
範囲は0<r≦1,0≦θ≦π/2,0<φ≦2πと置きましたが
範囲はこれでよろしいのでしょうか?

A 回答 (2件)

#1です。



>π/2になったのですが、略解ではπ/4となっています。
これは略解が間違っているのでしょうか?

略解のπ/4が正しいです。
π/2の方が間違いです。
sinθcosθ=(1/2)sin(2θ)の「1/2」を転記時に抜けてしまっていました。

> ={∫[0,1](r^3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2](sin(2θ)dθ}
> =(1/4)(2π)(1/2)2 =π/2

={∫[0,1](r^3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2] (1/2)(sin(2θ)dθ}
=(1/4)(2π)(1/4)2 =π/4
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変助かりました。^^

お礼日時:2010/01/02 12:18

>範囲は 0<r≦1, 0≦θ≦π/2, 0<φ≦2πと置きましたが


>範囲はこれでよろしいのでしょうか?

D'={(r,θ,φ)|0≦r≦1, 0≦θ≦π/2, 0≦φ≦2π}
で良いと思います。

∫∫∫[D] z dxdydz=∫∫∫[D'](r~3)cosθsinθdrdθdφ
={∫[0,1](r~3)dr}{∫[0,2π]dφ}{∫[0,π/2]sin(2θ)dθ}
=(1/4)(2π)(1/2)2 =π/2

この回答への補足

私も一応この問題を解いてinfo22さんと同じπ/2になったのですが、略解ではπ/4となっています。
これは略解が間違っているのでしょうか?

補足日時:2010/01/02 03:24
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