A,B,Cの3市があり、20年前の各市の人口の合計は99万人だった
20年間にAは15%、Bは6%、Cは24%人口が増えている。増えた人数は全部同じだとすると今のCの人口はいくらか。

解答、

20年前のA,B,Cは15:6:24の逆比で8:20:5であると書いてあります

この逆比の意味がわからないのですが、どういったときに使うものなんでしょうか。
逆比の計算の仕方は分かったので解説よろしくお願いします

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A 回答 (2件)

2つのものを掛け算したときに一定の値になる、つまり、一方が


他方に反比例しているとき に逆比が使えます。

例えば、100kmの道を時速20kmで行くときにかかる時間は5時間、
時速50kmで行くときにかかる時間は2時間ですが、速さの比は
2:5で、かかる時間の比はその逆比で1/2:1/5=5:2という
ように。

この問題で言えば、人口と割合をかけたものが3つとも同じ値
なので、人口とそのときの割合は反比例していると判断できます。
(人口×割合=一定)
だから、人口の比が割合の逆比で表せるということです。
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20年前のA,B,Cの人口をそれぞれa,b,cとすると


現在の人口と増加人数はそれぞれ
A市: 1.15a人 と 0.15a人
B市: 1.06b人 と 0.06b人
C市: 1.24c人 と 0.24c人 …(■)
となります。
各市の増加人数は同じ(k人とおく)なので
0.15a=0.06b=0.24c
100倍して
15a=6b=24c =k
a=k/15,b=k/6,c=k/24…(●)
なので
a:b:c=k/15:k/6:k/24 (←共通のkで割って)
   =1/15:1/6:1/24 (←ここで逆比となることが分かりますね!)
(15,6,24の最小公倍数を分子にかける)
=3*5*8/15:3*5*8/6:3*5*8/24
=8:20:5
と20年前の3市の人口比が逆比で出てきます。

なお、C市の今の人口は計算すると 18万6千人 となりますね。
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Q(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,dがそれぞれ異なる自然数の時

(a+c)(a-c)=x
(d+b)(d-b)=x
とした時、xが成立する最小の自然数は15だというのはわかるのですが、それを証明する術を教えてください。

Aベストアンサー

命題はつぎのように書けます。
 自然数xは、2通りの自然数の積で表せる。
 それぞれの積は、別の自然数の和と差で表せる。
 このような自然数xのうち最小のものは15である。

1から15までで考えればいいので、全部確認してもいいと思いますが、条件を絞っていきます。

No.1さんのいうように
 xは、奇数か、4の倍数 (1)
2通りの積で表せることから
 xは素数ではない   (2)
 xは素数の2乗ではない (3)
以上より、候補は8か15になります。
 8=8x1=4x2
 15=15x1=5x3
別の自然数の和と差の積であることから、
 x=奇数x奇数 または 偶数x偶数
になり、候補は15のみになります。
 実際に別の自然数の和と差の積で表せるか確認すると
(a,c,b,d)=(8,7,4,1)
となることがわかり、条件を満たす最小値は15であることが分かります。

Qにゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

にゃんこ先生といいます。

a,b,c∈{1,2,3,…,n}
とします。

Σ[a≠b]ab
={Σ[k=1~n]k}^2 - Σ[k=1~n]k^2
={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2-n-2)/12

Σ[a<b]ab
=(1/2)Σ[a≠b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24

Σ[a≦b]ab
=Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2+7n+2)/24

ですが、
Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc

Σ[a<b<c]abc

Σ[a≦b≦c]abc
また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?
にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

Aベストアンサー

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


g(n,m)=Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
g(n,m)
=(-1)^m*s(n+1,n-m+1)
=(-1)^m*Σ[j=0,m]Σ[i=0,j](-1)^i/(j!)*i^(j+m)*comb(j,i)*comb(j+n,j+m)*comb(n+1+m,m-j).
(s(n,k)は第一種スターリング数)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3563977.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html

計算例:
g(n,10)
=(99*n^9-594*n^8-1386*n^7+6468*n^6+14091*n^5-12826*n^4-44132*n^3
-18392*n^2+14432*n+7680)*(n+1)!/(367873228800*(n-10)!).


h(n,m)=Σ[1≦i<j≦m をみたす全てのi,jに対してa[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…*a[m])
とすると、
h(n,m)=(m!)*g(n,m).

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


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Q何で数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,FじゃなくてI,II,IIIとA,B,Cなの

高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。


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