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△ABCは鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが△ABCと合同な四面体が存在することを示せ。 (京都大)

〈解)
BC=a CA=b AB=cとする。
△ABCは鋭角三角形であるから、次の不等式が成り立つ。
a^2+b^2>c^2、b^2+c^2>a^2、c^2+a^2>b^2

したがって3つの等式
x^2=1/2(c^2+a^2-b^2) 
y^2=1/2(a^2+b^2-c^2)
z^2=1/2(b^2+c^2-a^2) 

の右辺はいずれも正であり、これらを満たす正の数x、y、zが存在する。
ここで、垂直に交わる3辺の長さがx、y、zである直方体を作ると

x^2+y^2=a^2、y^2+z^2=b^2、z^2+x^2=c^2

が成り立ち、直方体の4つの頂点を共有する四面体は、4面とも△ABCと合同である。
したがって、各面すべてが与えられた鋭角三角形と合同な四面体は存在する。


これは参考書に載っていた京都大の入試問題です。
全く分からなかったので解答を見たものの、全く分かりません。
理解できるのは解答の一行目くらい・・ 

詳しい解説をお願いします。

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A 回答 (1件)

 直方体の頂点をD~Kとします(面DEFGと面HIJKが平行)。

また、辺DE、EF、DHの長さをそれぞれx、y、zとします。すると対角線HE、EJ、JHの長さはそれぞれc、b、aとなります(x^2+y^2=a^2、y^2+z^2=b^2、z^2+x^2=c^2より)。
 E,J,H,Gを頂点とする四面体について各辺の長さを考えると、この四面体の辺は上記の直方体の面の対角線となり、上記同様にしてその長さがa,b,cであることが判り、全ての面が△ABCと合同となります。
 直方体の図を書いてご確認下さい。
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Q東大の過去問です。

各格子点を中心として半径rの円がえがかれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどらかと共有点を持つという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

この問題の答えが分かりません。くわしく分かりやすく教えていただけたら幸いです。

Aベストアンサー

>{1-2(√29/5)r}/2=2/5
>この式はどういう意味でしょうか?


中心R(2,1)半径rの円にも、傾き2/5の円の接線(円の下側)を描き、
接線と直線x=2との交点をSとすると、
RS=(√29/5)r

で、直線QSの傾きが2/5になればいいわけですから、
Q(Qx,Qy)=(0,(√29/5)r)
S(Sx,Sy)=(2,1-(√29/5)r)

(Sy-Qy)/(Sx-Qx)=2/5

{1-(√29/5)r-(√29/5)r}/(2-0)=2/5


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