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∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

一見簡単に見えたのですが、私には難しかったようです。

∫(x^3+x^2-4x)/{(x+2)(x-2)}dxから
x^3+x^2-4xの因数分解を考えたのですが、
x(x^2+x-4)として、x^2+x-4を考えると、単純に因数分解できそうにありません。

強引に(Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2)
と部分分数分解もしましたが、行き詰りました。

お知恵を拝借願います。

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A 回答 (3件)

もう一歩です。


何とか (Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2) と分解できたのなら、
(Ax^2+Bx)÷(x+2) と (Cx^2+Dx)÷(x+2) の余り付き除算を行って、
仮分数を帯分数になおせば、部分分数分解が完成します。

x -1 -1/(x+2) +1/(x-2) の積分は、
∫(1/x)dx を知っていれば、できますね。
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この回答へのお礼

有難うございます。解けました。
ソフトウェアでの解と手計算の解が一致しました。

お礼日時:2010/01/14 16:27

次のように被積分関数を部分分数展開しておいてから積分してください。



(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)=(x-1)-{1/(x+2)}+{1/(x-2)}
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この回答へのお礼

いつも有難うございます。解けました。
ソフトウェアでの解と手計算の解が一致しました。

お礼日時:2010/01/14 16:27

Ax+B+C/(x+2)+D/(x-2)


の形に分解しましょう。
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この回答へのお礼

有難うございます。一度やってみます。

お礼日時:2010/01/14 01:52

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^」に関するQ&A: e^(-x^2)の積分

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q(x^3/√(x^2+1))の不定積分

申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。

(x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが
このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。

部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

置換積分でできると思います。

∫(x^3/√(x^2+1))dx
=∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx
ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt
=(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C
=(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C
=(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

でどうでしょうか?確認してみて下さい。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの!?」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
=(1/2)tan^-1(u)+C
=(1/2)tan^-1(x^2) +C

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q∫x^2√(4-x^2)dxの積分

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2
よって
∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}

となりました。途中式・解答はあってますか?よろしくお願いします。

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1...続きを読む

Aベストアンサー

1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています.
でも,2行目でしっかり微分されているので,OKです.
4行目の第3項に記号∫が抜けていますが,5行目でしっかり積分されているのでOK!
後は合っていますが,最後の答えの中に
  ∫(4√(4-x^2)dx
が残っており,まだ積分の計算は完了していません.
  ∫(4√(4-x^2)dx
の積分は,x = 2sint と置き換えて積分すれば
  ∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2}
が求められますので,計算してみてください.
上記とあわせると,答えは
 ∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2
となるはずです.

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Qx/(a^2+x^2)の積分について

x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか?

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想像力や創造力を
働かして,個別に,新しく考えねばなりません.そこが,また,魅力とも言えるでしょう.

高校,大学の演習問題ならば,過去に考えられている方法のいずれかが応用できます.
しかし,大学院や社会へ出るなどして直面する問題には,新しい方法を必要とする場合が多いです.
その時は,過去の応用問題は役に立たず,やはり想像力や創造力を発揮しなければ解決しない事が多いでしょう.

そこで,あなたが,

>>「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる!」

のではないか,と思い込んだ,その着想が大事なのです.
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき,などがなければ,物事の進歩・発展はないのです.

そう言う,あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので,
また,この様な,つたない回答(投稿)となりました.

●(注)些細な事かも知れませんが,f(x)の微分は,
  f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います.
  手書きで書く時も,カッコの後にプライム(ダッシュ)をつける
   f(x)' ではなく,f にプライムを付けて,f'(x) と書いています.
  私は,学生時代から今に至るまで,永年その様に書いていますが,
  最近の記号法は変わりましたか?

とめどもない書き込みで,お時間を取らせまして,大変失礼いたしました.

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想...続きを読む

Q積分 ∫√(4-x^2)dxについて

不定積分の問題なのですが、
∫√(4-x^2)dxの答えがどうしても導けません。
助言をお願いします。

Aベストアンサー

∫√(4-x^2)dx
=4∫(cos(t))^2dt←x=2sin(t),|t|≦π/2とおく。
=2∫(1+cos(2t))dt
=2t+sin(2t)+C
=2 arcsin(x/2)+(x/2)√(4-x^2)+C

ここで、
sin(2t)=2sin(t)cos(t)=2 sin(t)√(1-(sin(t))^2)=
=x√(1-(x/2)^2)=(x/2)√(4-x^2)