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ガロア理論について質問です.

以前,
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5614447.html

こちらで質問させていただきました.
そこで,ガロアは「5次以上の方程式が代数的に解けない」という結果を得るために群というものを用いて研究を進めたとの意見をいただきました.

それは理解できたのですが,「5次以上の方程式が代数的に解けない」という事実は,どのような実用性があるのでしょうか?
ガロアやそれ以前の人たちが考えた代数学というものは,現在数学やその他の分野で大変重要な役割を果たしていることは分かるのですが,「5次以上の方程式が代数的に解けない」という結果がどのような恩恵を与えてくれるのかがよく分かりません.

「現在このよな分野で役立っている」というような具体例があれば教えていただけますか?
ちまみに私は現在,ガロア理論というものを基盤として,主に群や体,環などについて学習しています.

まだ,「代数的に解けない」という導くとこまでは到達できていないのですが,その結果がどのような役に立っているのかが知りたいです.
よろしくお願いします.

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A 回答 (5件)

前の質問を放置する(礼くらいするのは礼儀だとも思うが)のは


どーかとおもうがな・・・

歴史的経緯はそれなりの書籍をよめば分かるんだと思う.
基本的なアイデアは「根の置換」の構造を考えることと
根がないなら「根があるように拡大する」という
ある意味強引な(けど凄い)アイデア.
これに「一般の代数方程式とは何か」,
「代数的に解けるとは何か」ということの適切な定義を
組み合わせて,
くだんの「アーベル・ルフィニの定理」は示されるのです.

で・・・
>「5次以上の方程式が代数的に解けない」という事実は,どのような実用性があるのでしょうか?

数学の定理に数学の内部ででも「実用性」を求めるのは
ある意味無粋なんだけどなあ・・・
それはさておき・・・「解けない」ってことが
分かったということは逆に「解ける」ってことに
道が開けたってこと.

ガロア理論・・・というか体の議論を進めれば,
「アーベル・ルフィニの定理」の証明が
ほとんど自明にみえるくらいに分かりますが,
#5次以上の対称群が可解でないことを認めればいい
ぶっちゃけた話
「代数方程式のガロア群が可解であるか否か」が
代数的に解ける・解けないの別れ目なことがでてきます.
つまり
5次以上でもガロア群が可解であるような
代数方程式は代数的に解ける
んです.
#誤解されてることが多いですが,
#あくまでも「一般の五次方程式が代数的に解けない」のであって
#特殊なものは当然代数的にとけるのです.

また,ガロア群という群を調べることで
方程式の解の様子がわかることがはっきりしたわけで
それによって,「三大作図問題」なんかも
あっさり解けちゃうってのも応用だし,
正多角形の作図の可能・不可能も分かってしまうのも応用でしょう.
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> 「5次以上の方程式が代数的に解けない」という事実は,どのような実用性があるのでしょうか?



 証明したということ、すなわち「「このことが事実だと知っている」という知識」になら、大きな実用性があり、それは第一に、

5次方程式の解の公式を探し求めて人生を棒に振る人が、かなり少なくなる

ということにあります。冗談なんかじゃないですよ。
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石川遼に「地面の穴に球を入れることに


何の意味があるんですか?」とインタビューする
記者は、あまりいません。
「スパコンは、一番じゃなきゃダメなんですか?」と
公の場で発言してしまう国会議員は、
残念ながら実在しますが。
重要なのは、結果ではなく、
そこに至る経過に産み出された物です。
5次方程式に解公式が存在しないという
事実自体は、「へー、そなの。」で済む
トリビアに過ぎません。
しかし、その証明のために創られた
群論の考えは、代数学に質的変化をもたらしました。
アーベル/ガロアの時代、既に多くの数学者が
5次解公式の不在を予想していたし、
それを示すのに、解の対称性が中心的な役割を
果たすことにも気づいていました。
証明に至らなかったのは、対称性を表現し
操作するための言葉としての群論を持たなかった
からです。
後にアーベルの仕事が再評価されてゆく歴史の中で、
数学はそれを獲得したのです。
証明された結論より、証明の過程に意義がある。
ワイルスでも、ペレルマンでも、皆同様です。
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まともな「証明」である事が理解されたら、同じ事をやる人がなくなりほかの他の数学的な問題の解決に割ける人が増える・・という役に立ちます。



それ以上やらなくて良いという事も世の中の能率を良くする役に立ちます。
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>その結果がどのような役に立っているのかが知りたいです.



特にはありません
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