(n!)^2≧n^n（nは自然数）

(n!)^2≧n^n（nは自然数）
この不等式の証明なのですが、第１手が分かりません。
両辺対数を取り、移行してnの関数と見て微分に持ち込もうとしたのですが、nが1に近付くと変数として扱えば良いのか定数として扱えば良いのか分からず断念。
そのまま(左辺)／(右辺)の形にして各項の評価も試みましたが、上手く行かず…。
分かる方がいらっしゃいましたら、何かヒントをお願いしたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/26 18:43

n=1 のときは自明.

あとは a≧2, b≧2 のとき (a-2)(b-2) = ab - 2(a+b) + 4 ≧ 0 から ab ≧ a+b であることに気づけば帰納法もいらない.
ガウスの逸話にある「1+2+...」を思い出してみよう.

この回答へのお礼

なるほど！
a，bにk，n－k（k＝1，2，3，……，n－1）を代入して辺々かければ、
{(n-1)!}^2≧n^(n-1)となり、あとは左辺にn^2を、右辺にnをかければ証明できますね。
感動しました！ありがとうございました！

お礼日時：2010/01/26 20:03

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/26 23:15

すみません, #2 はちょっと無駄なことをしています. 要は k(n+1-k) ≧ n が 1

≦ k ≦ n で成り立つことを示せばいいので, これを k に対する 2次不等式と
みなして示す方が採点者に親切です.
あるいは, #2 の筋でいくのでももっとシンプルに
a ≧ 1, b ≧ 1 なら ab ≧ a+b-1
とする方が簡単です. これなら n に関する条件を考えなくていいので #2 より
きれいです.

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/01/26 18:16

数学的帰納法で証明可能です。

((n+1)!)^2-(n+1)^(n+1)
＝(n+1)^2((n!)^2-(n+1)^(n-1))
≧(n+1)^2((n^n-(n+1)^(n-1))
であることから、
n^n≧(n+1)^(n-1)
を示すことができればいいことになります。
この不等式も、
(n+1)^(n-1)/n^n＝(1+1/n)^n/(n+1)≦1
とすれば、数学的帰納法で証明可能です。

この回答へのお礼

帰納法も試みたのですが、(1+1/n)^n/(n+1)≦1
ここで止まってしまったのです…。
しかし帰納法でも可能ということが分かりましたので、さらに頑張ってみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/26 20:08