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行列の階数（rank）を求める

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  • 質問者：jet-ninjin321
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

実数だとできるんですが文字式の時の良い
やり方が分かりません。途中式も教えてください
一問目は４行４列。２問目は３行３列の正方行列です。

(a+2) 1 2 -1
-5 (a-3) -4 1
-1 0 (a-1) 1
3 1 2 (a-2)


1 a bc
1 b ca
1 c ab

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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

２問目


行列をA,その行列式をdet(A)と書くと、
det(A)=(a-b)(b-c)(c-a)
従って、rank(A)=3のためには、a,b,cが
全て異なる事が必要十分。

次にa,b,cの何れか二つだけが一致する場合、
行列Aの１列目と２列目は一次独立だから、このとき
rank(A)=2
最後にa,b,cが全て等しい場合、
２列目、3列目は１列目と一次従属だから
rank(A)=1

多分、１問目も同じ方針で行けるでしょう。でも、計算量が大きいので辞退します。
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No.2

  • 回答者： jetplane
  • 回答日時：

文字が入ると面倒くさいかもしれませんが地道に簡約してみましょう！簡約化するというのはわかりますか？わかるのであれば簡約化してその簡約された行列の主成分を含む列の個数を数えればいいです。

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No.1

数字と同じようにすれば良いと思います。


割り算とかけ算が少しめんどうになるだけですよ。
aの部分を1にしたければ1/aをかければいいわけです。
（行全部にかけるから他の数字は複雑になってしまうかもしれませんが）
文字式だと難しく考えがちですが原理は同じなんですから…

さすがにこの回答を書くのはきついんで…

頑張って下さい。
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Aベストアンサー

基本的にどこかの行・列の成分を０にすることを考えます。
３列目に１が並んでいるのに着目して、
１行目を２行目に足す、１行目を３行目に足す
という操作を行うと、
３　４　－１
５　５　０
１　１　０
となります。
すると、２行目と３行目が比例関係にあることが見えるので、
２行目の－１／５倍を３行目に足すと、
３　４　－１
５　５　０
０　０　０
となって、３行目がすべて０となります。
従って、この行列式は０であり、階数は３にはなり得ず、
３　４
５　５
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１　０　０
０　１　０
０　０　０
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基本的にどこかの行・列の成分を０にすることを考えます。
３列目に１が並んでいるのに着目して、
１行目を２行目に足す、１行目を３行目に足す
という操作を行うと、
３　４　－１
５　５　０
１　１　０
となります。
すると、２行目と３行目が比例関係にあることが見えるので、
２行目の－１／５倍を３行目に足すと、
３　４　－１
５　５　０
０　０　０
となって、３行目がすべて０となります。
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http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847081&sr=8-1
沢山実践的な演習をこなしたいなら、こちらがお勧めです。
こちらは、図書館から借りて使用しました。解説が詳しく、かつ
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サイエンス社
http://www.amazon.co.jp/%E6%BC%94%E7%BF%92%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%80%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%80%89I-%E5%A7%AB%E9%87%8E-%E4%BF%8A%E4%B8%80/dp/4781908373/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847242&sr=1-1
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参考までに、

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　Ａ＝（１，１，１）
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という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。　　

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
　xA+yB+zC=(0,0,0)
　(x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
　xA+yB+zC
　=x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
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　=(0,0,0)
より、
　x+y+2z=0 … (1)
　x-2y+z=0 … (2)
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(1)-(2)
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　∴ z=-3y … (4)
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　∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
　x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
　x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
　{-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
　x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
　-6+4/(a-2)=0
　∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
　x=5, z=-3
であるから、
　xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
　a=8/3 … (Ans.)

参考URL：http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

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