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実数だとできるんですが文字式の時の良い
やり方が分かりません。途中式も教えてください
一問目は4行4列。2問目は3行3列の正方行列です。

(a+2) 1 2 -1
-5 (a-3) -4 1
-1 0 (a-1) 1
3 1 2 (a-2)


1 a bc
1 b ca
1 c ab

A 回答 (3件)

2問目


行列をA,その行列式をdet(A)と書くと、
det(A)=(a-b)(b-c)(c-a)
従って、rank(A)=3のためには、a,b,cが
全て異なる事が必要十分。

次にa,b,cの何れか二つだけが一致する場合、
行列Aの1列目と2列目は一次独立だから、このとき
rank(A)=2
最後にa,b,cが全て等しい場合、
2列目、3列目は1列目と一次従属だから
rank(A)=1

多分、1問目も同じ方針で行けるでしょう。でも、計算量が大きいので辞退します。
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文字が入ると面倒くさいかもしれませんが地道に簡約してみましょう!簡約化するというのはわかりますか?わかるのであれば簡約化してその簡約された行列の主成分を含む列の個数を数えればいいです。

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数字と同じようにすれば良いと思います。


割り算とかけ算が少しめんどうになるだけですよ。
aの部分を1にしたければ1/aをかければいいわけです。
(行全部にかけるから他の数字は複雑になってしまうかもしれませんが)
文字式だと難しく考えがちですが原理は同じなんですから…

さすがにこの回答を書くのはきついんで…

頑張って下さい。
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Q行列の階数の求め方

| 3 4-1|
| 2 1 1|
|-2-3 1|

の行列の階数を求めよ。という問題なのですが、授業や教科書を見ても行列の階数の求め方がまったく分かりません。できるだけわかりやすく教えていただきたいです。解説が分かりやすいサイトだけでもいいので教えてください。お願いします!!

Aベストアンサー

基本的にどこかの行・列の成分を0にすることを考えます。
3列目に1が並んでいるのに着目して、
1行目を2行目に足す、1行目を3行目に足す
という操作を行うと、
3 4 -1
5 5 0
1 1 0
となります。
すると、2行目と3行目が比例関係にあることが見えるので、
2行目の-1/5倍を3行目に足すと、
3 4 -1
5 5 0
0 0 0
となって、3行目がすべて0となります。
従って、この行列式は0であり、階数は3にはなり得ず、
3 4
5 5
の行列式は0ではないので、階数は2となります。
もっと変形を進めて、
1 0 0
0 1 0
0 0 0
まで変形することができますが、ここまでやらなくても階数はわかる
でしょう。
また、当然、変形の仕方は一意的ではありません。なので、本の解答
が絶対唯一のものではありません。

最初に、この行列の行列式を計算すると0になるので、最初から
階数は2以下であると見当をつけて、どこかの行・列をすべて0に
するようにします。
また、行列式が0でなければ、階数は3となります。
3次行列くらいなら行列式を計算するのは簡単なので、最初に行列式
を計算し、階数の見当をつけておくのが良いでしょう。

基本的にどこかの行・列の成分を0にすることを考えます。
3列目に1が並んでいるのに着目して、
1行目を2行目に足す、1行目を3行目に足す
という操作を行うと、
3 4 -1
5 5 0
1 1 0
となります。
すると、2行目と3行目が比例関係にあることが見えるので、
2行目の-1/5倍を3行目に足すと、
3 4 -1
5 5 0
0 0 0
となって、3行目がすべて0となります。
従って、この行列式は0であり、階数は3にはなり得ず、
3 4
5 5
の行列式は0ではない...続きを読む

Qオススメの線形代数の問題演習を教えてください!

よくわかる線形代数と、
やさしく学べる線形代数を独習しました。

次に、問題集に取り組みたいのですが、
オススメの線形代数の問題集を教えてください。

いまのところ、
基本演習 線形代数 (基本演習ライブラリ) - 寺田 文行, 木村 宣昭
にしようかと思っています。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

理学部でしたか。それならば、演習書ではないですが、こちらを
お勧めします。(ご存知かもしれませんが、、)
斉藤正彦さんの名著です。
http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847081&sr=8-1
沢山実践的な演習をこなしたいなら、こちらがお勧めです。
こちらは、図書館から借りて使用しました。解説が詳しく、かつ
良問が揃っているので、理解力、応用力がつくと思います。
サイエンス社
http://www.amazon.co.jp/%E6%BC%94%E7%BF%92%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%80%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%80%89I-%E5%A7%AB%E9%87%8E-%E4%BF%8A%E4%B8%80/dp/4781908373/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847242&sr=1-1
東京図書
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参考までに、

理学部でしたか。それならば、演習書ではないですが、こちらを
お勧めします。(ご存知かもしれませんが、、)
斉藤正彦さんの名著です。
http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847081&sr=8-1
沢山実践的な演習をこなしたいなら、こちらがお勧めです。
こちらは、図書館から借りて使用しました。解説が詳しく、かつ
良問が揃...続きを読む

Q一次従属の問題

「3個のベクトル
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3) 
 C=(2,1,a) が1次従属であるためには,aはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。  

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
 xA+yB+zC=(0,0,0)
 (x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
 xA+yB+zC
 =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
 =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
 =(0,0,0)
より、
 x+y+2z=0 … (1)
 x-2y+z=0 … (2)
 x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
 3y+z=0
 ∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
 (a-2)x+(a-6)y=0
 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
 x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
 x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
 -6+4/(a-2)=0
 ∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
 x=5, z=-3
であるから、
 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
 a=8/3 … (Ans.)

参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

Q記号の意味

コーシー・リーマンの方程式を使って次の複素数式の解析性を調べたいのですが、式の記号の意味が分かりません。
f(z)=Rez/Imz
というものですが、ReもImもよく意味が分からないので誰か説明してください。よかったら解法のヒントなどもあればお願いします。

Aベストアンサー

複素数 Z=x+iyについて、
Re(z) = x ・・・ (実部)
Im(z) = y ・・・ (虚部)
のことです。

Q線形代数の余因子行列の求め方。

見づらくて申し訳ないのですが、
下の3行3列の行列の余因子行列の求め方を教えてください。

  | 3 -2 1 |
|A|= | 1 4 7 |
| 5 3 6 |


(数字の両端の棒は、1行目から3行目まで絶対値です・・・)
表示がうまくいかないので、
1行目が1列目から3 -2 1 で、
2行目が1 4 7 で、
3行目が 5 3 6 の数字です・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

もとの行列をA=[a(i,j)]とすると
Aの余因子行列とは
(i,j)成分がa~(j,i)となる行列で
A~で表します

ようはAの各成分の余因子を全部求めて
転置行列みたいな感じで並べればいいだけです

まずa~(1,1)とa~(2,1)を求めて見ると
a~(1,1)=(-1)^(1+1)*3=3
a~(2,1)=(-1)^(2+1)*(-15)=15
よって
求めるA~の
(1,1)成分が3
(1,2)成分が15
となります
あと7回同じ作業を繰り返せば終わりです
余因子の求め方がわからなければURLを参考

参考URL:http://aglaia.c.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/Math/system/node8.html

Q離散数学で

離散数学の参考書を探してます。本当に基礎の基礎からやさしく解説してある良い参考書はないでしょうか?

Aベストアンサー

こんにちは

離散数学の教科書・参考書、多種多様なものがあり
どれを選べばよいか難しいですね。

私の手元にあるものでお勧めは
「工学基礎 離散数学とその応用」 徳山 豪
でしょうか。

非常に読みやすい(内容的にもビジュアル的にも)
かつ面白い本のひとつと私は評価しています。
この本を読むために別の参考書が必要ない点、
章末問題に対し、ちゃんと解答が掲載されている点も
使いやすいかと思います。
あと、専門書としては買いやすい値段ですし。

なお、基本的には学部(工学)向けの教科書ですが、
いくつかかなり凝った話も載っているので、
初心者のみならず楽しめると思います。
#なんだか宣伝のようになってしまうなぁ 笑

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)


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