極限の問題です

極限lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}のとき方を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/06/02 17:42

区分求積法を使うのです。

（下記URL参照）
典型的な区分求積法の形になっていますので。
k/nをｘとして積分するって感じかなぁ。


lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}
＝∫[0～1]x/{1+x^2}dx
＝(1/2)log2

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/limsig0 …

この回答へのお礼

ありがとうございます。区分求積法とゆうものがあったとは。おっしゃるとおりかなり典型的な形ですね。
しかも教えてもらったとこはかなり今の私にはピッタリな感じです。ありがとうございました。

お礼日時：2003/06/04 12:12

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/06/02 19:41

回答は出ていますので、参考程度に

Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}≦{∫[k=1～n](k/n)/{1+(k/n)^2}dk}
k/n=x, dk=ndx
={n*∫[k=1/n～1](x)/{1+(x)^2}dx}
=n*(1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}
=n*(1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}

lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}
=lim[n→∞](1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}
=(1/2)*log(2)

この回答への補足

なんかいわゆる区分求積法とは違うような気がするんですけど、元をただせばこうゆうことなんですか？
級数をそのまま積分にするのは微小成分だからできるこっとなんですか？
もしお時間がありましたら、教えてください。

補足日時：2003/06/04 12:20