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外心・垂心は鈍角三角形では三角形の内部、鋭角三角形では三角形の外部、直角三角形では三角形の周上にあることを証明せよ。

この問題を解ける、兵いらっしゃいますか??

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

鈍角三角形では三角形の「外部」、鋭角三角形では三角形の「内部」


と考えて。

外心
△ABC の外心をOとする。
1.∠Aが鈍角の鈍角三角形
 円周角の定理より、∠A>90°なので、中心角∠BO C >180°
 よって、点Aを含む方の弧BCの長さ<点Aを含まない方の弧BC
 となるので、点Oは△ABC の外部にある。
2.∠A=90°の直角三角形
 円周角の定理より、∠BO C =180°。つまり、点Oは辺BC 上
 にある。
3.鋭角三角形
 円周角の定理より、∠A<90°なので、中心角∠BO C <180°
 よって、点Aを含む方の弧BC の長さ>点Aを含まない方の弧BC
 となるので、点Oは△ABC の内部にある。

垂心
1.∠Aが鈍角の鈍角三角形
 点Bから直線AC に垂線BPを引いたとき、Pが線分AC 上に
 あるとすれば、∠BPC =∠BAP+∠ABP>∠BAP、
 つまり、∠BPC >90°となるので、垂線BPであることに矛盾
 よって、垂線BPは△ABC の外部にあり、同様に、C から直線
 ABに引いた垂線も△ABC の外部にあり、これらの交点である
 垂心は△ABC の外部にある。
2.∠A=90°の直角三角形
 点Aが垂心であるのは明らか。よって、垂心は△ABC の周上に
 ある。
3.鋭角三角形
 点Aから直線BC に垂線APを引く。
 点Pが線分BC の外にあるとすれば、
 ∠APB<∠ABC <90°、または、∠APC <∠AC B<90°
 となるので、垂線APに矛盾する。よって、点Pは線分BC上に
 あり、垂線APは△ABC の内部にある。
 同様に、Bから直線AC に垂線BQを引けば、点Qは線分AC 上
 にあり、垂線BQは△ABC の内部にある。
 BAは線分APとAで交わり、BC は線分APとPで交わるので
 線分AC 上にある点QとBを結んだBQは線分APと1点で交わる。
 この交点(線分AP上の点)が垂心なので、垂心は△ABC の内部
 にある。


という説明ではどうでしょうか。
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「鈍角」と「鋭角」が逆。

いや「内部」と「外部」が逆なのか。

この回答への補足

逆じゃないですよ!!!

補足日時:2010/02/02 11:26
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いや, それは誰にも無理でしょ.

この回答への補足

証明じゃなくてもいいんでなんでこうなるのかとかも無理ですか??

補足日時:2010/02/02 02:47
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