出産前後の痔にはご注意!

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。


x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 21:59

#2です。



#1さんのやり方の方がお勧めですね。
xy=(1/6)z^3が求まれば
x^2+y^2+z^2=(x+y)^2-2xy+z^2=4-2xy+z^3
に代入してやれば良いですね。

A#2の方はたとえ合っていたとしても式が複雑すぎますので無視して下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 21:59

考えたやり方でやればできます。



>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3

(1),(2)式を代入すると
(2+z)(x^2+y^2+z^2-xy-2z)-3xyz=8
(2+z)(x^2+y^2+z^2)-2xy(1+2z)-2z(2+z)=8…(3)

(1)を2乗して x^2+y^2=4-2xy
2xy=4-(x^2+y^2) …(4)
(4)を(3)に代入
(2+z)(x^2+y^2+z^2)+(1+2z)(x^2+y^2)-4(1+2z)-2z(2+z)=8
(2+z)(x^2+y^2+z^2)+(1+2z)(x^2+y^2+z^2)-(1+2z)z^2-4(1+2z)-2z(2+z)=8
3(z+1)(x^2+y^2+z^2)=(1+2z)(z^2+4)+2z(2+z)+8
=2z^3+3z^2+12z+12
∴x^2+y^2+z^2=(1/3)(2z^3+3z^2+12z+12)/(z+1)

合っているかは保証の限りではありませんので、必ず自分で計算して
確認してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 22:00

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