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図で四角形は正方形。
乙円の半径1。
このとき、小斜の長さを求めよ。
つぎのことは分かりました。
小斜を延長したとき、辺との交点は円と辺との接点になる。

大斜についてはどうなっているかはよくわからない。
これがわかればとけると思うが、うまくいかない。

よろしくお願いします。

「和算図形 画像つき」の質問画像

A 回答 (2件)

正方形の左辺と上辺と、小斜の延長線とでできる直角三角形を考えると、


三平方の定理と角の二等分線の性質から、三角形の辺の比率は、3:4:5であることが分かります。

同様に、正方形の下辺と、左辺の延長線と、大斜の延長線とでできる直角三角形の辺の比率も、3:4:5であることが分かります。

よって、小斜と大斜と正方形の右辺とでできる三角形の辺の比率も、3:4:5となり直角三角形です。
その三角形の内接円の半径が1なので、それぞれの辺の長さは3,4,5となります。

正方形の辺の長さは5、甲円の直径は5/2であり、
小斜を延長して正方形の左辺との交点までの長さは25/4なので、それから下の甲円の内部にある部分の長さ2を引くと、
小斜の長さは、17/4となります。


問題の図から作られる直角三角形がことごとく3:4:5の比になっていることが分かれば解けるのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

左の辺と小斜との交点が接点を通ることより、3:4:5であることは、簡単に分かったのですが、他にも3:4:5があることは分からなかったので、再度考えてみたいと思います。レベル的には高校生以上とあったので、必死になって考えています。
左の辺の延長と大斜の延長との交点ができるので、左の辺の延長部分の長さを求めようと考えたり、方べきの定理が使えないかとか、いろいろ考えましたが、うまくいきませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/02/05 08:37

私も初め、大斜と小斜は直交するのかと思って、#1さんと同じように考えましたが、


残念ながらこの2直線は直交しません。

正方形の上の辺と右の辺に接するように、甲と同じ大きさの円をもう一つ書き、
その円に、正方形の右下の頂点から引いた接線を大斜とするなら、小斜と大斜は
直交し、図中の直角三角形はすべて3:4:5の辺の比になるので、
頑張れば小学生の算数でも何とかなる問題です。

しかし、問題の図の大斜はこれとは一致しませんから、答はそう簡単にはなりません。
計算がややこしくなったので、最後まで計算してみてはいませんが、この図に従うと、
答はどう考えても無理数です。

和算というもののルールはよく存じませんが、三平方の定理や、平方根などという
概念は使ってもいいものなんでしょうか。
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この回答へのお礼

和算の問題ですけれども、それを意識しないで知っていることを
すべて使って解こうと考えています。

小斜を延長したときの直角三角形は3:4:5というのはすぐ分かりますが、他はわかりませんでした。確認したいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時:2010/02/05 08:27

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