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次の2つの条件を満たす2次関数f(x)を求めよ。
〔1〕任意の1次関数g(x)に対して∫{0~1}f(x)g(x)dx=0
〔2〕∫{-1~1}f(x)dx=1

2次関数f(x)=ax^2+bx+cとおいて〔2〕より2a/3+2c=1という方程式をたてました。ここで1次関数g(x)のおき方なのですが、g(x)=dx+eとおくのでしょうか?このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。
〔1〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。回答宜しくお願いします。

A 回答 (4件)

ti-zuさん、こんにちは。


解法のヒントが出ていますが、ここはti-zuさんが考えたように
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=dx+e
とおいて、計算していくのが一番分かりやすいかなと思います。

f(x)g(x)=(ax^2+bx+c)(dx+e)=adx^3+(ae+bd)x^2+(be+cd)x+ce
ですから、これをxが0から1まで定積分すると、
∫f(x)g(x)dx=∫{(ax^2+bx+c)(dx+e)=adx^3+(ae+bd)x^2+(be+cd)x+ce}dx
=[(ad/4)x^4+(ae+bd)x^3/3+(be+cd)x^2/2+cex]0から1まで
=ad/4+(ae+bd)/3 +(be+cd)/2 +ce=0
分数を整数になおすと、
3ad+4ae+4bd+6be+6cd+12ce=0・・・(☆)

さて、ここで、g(x)は、任意の一次関数でした。
任意の、ということは、「どんな一次関数でもよい」という意味です。
g(x)=dx+eが一次関数であるためには、d≠0ですが、
d≠0であれば、どんなd,eの値をとっても成り立つわけです。
ですから、#1さんのように分かりやすくg(x)を決めてやればいいんですね。

例えば、d=1,e=0としましょう。このとき、(☆)は
3a+4b+6c=0・・・(あ)

また、もう一つd=1,e=1としてみましょう。このとき(☆)は
7a+10b+7c=0・・・(い)

これらと、ti-zuさんが条件[2]より求めた式
2a/3+2c=1より
2a+6c=3・・・・(う)

この、(あ)(い)(う)の3つの連立方程式を解いて、a,b,cを求めればよいですね。
実際に解いてみると、
a=1,b=-1,c=1/6となりました。
つまり、f(x)=x^2-x+1/6
となります。

さて、このとき、任意の一次関数g(x)をかけて、0から1まで定積分して0になるかどうか
実際に確かめてみましょう。

条件[1]は
∫(x^2-x+1/6)(dx+e)dx=∫{dx^3+(e-d)x^2+(-e+d/6)x+e/6}dx
=[(d/4)x^4+(e-d)x^3/3 +(-e+d/6)x^2/2 +e/6]0から1まで
=d/4+(e-d)/3+(-e+d/6)/2 +e/6=Iとおく
Iの値が0になっていることがいえればよいですね。

分母を払うため、Iを12倍しましょう。
12I=3d+4e-4d-6e+d+2e
=(3-4+1)d+(4-6+2)e=0*d +0*e=0

となるので、g(x)として、どんな一次関数を選んでも、
条件[1]が成立することが確かめられました。

よって、上のことより、求める2次関数f(x)は

f(x)=x^2-x+1/6・・・・(答え)


このように、f(x),g(x)を、ti-zuさんが考えたように
具体的に文字で置いてみて、計算していくのが一番近道だと思います。
計算は確かにややこしいですが、落ち着いて計算すればいいですね。
頑張ってください。
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この回答へのお礼

考え方は合っているという事なので、地道に計算してみました。答えが一致したので、一安心しました。今回も丁寧な回答を有難うございました。

お礼日時:2003/06/04 05:34

>g(x)=dx+eとおくのでしょうか?


> このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。

こうおいて計算して答を出し,
さてもっと簡単にできなかったかと振り返ってみるのが勉強だと思うのですがね.
どうやれば簡単かが「見える人」というのはそういう蓄積があるのだと思います
(大天才はどうか知りません).

さて,
(1)  g(x) = dx + e
とおいて,以下やるべきことの論理構成はどうなっているのでしょうか.
(2)  ∫{0~1} f(x) g(x) dx
を計算する?
まあ,そりゃそうです.
で,
(3)  (2) = d×(a,b,c の式#1) + e×(a,b,c の式#2)
に形になります.もちろん,式#1 と 式#2 の具体的形は別にして,
計算やらなくてもこの形になることはわかります.
どんな1次関数に対しても(つまり,どんな d と e を選んでも),(3)がゼロというのだから,
(4)  (a,b,c の式#1) = 0
(5)  (a,b,c の式#2) = 0
ということです.

ん?でも
(6)  (a,b,c の式#1) = ∫{0~1} f(x) x dx
(7)  (a,b,c の式#2) = ∫{0~1} f(x) dx
ですね.

そうすると,(6)=0,(7)=0,質問文にある式,3つ式が出ました.
決めるべき係数は a,b,c ですから,特別変なことがなければ a,b,c は決まります.

上の話は rei00 さんの g(x) の選び方で,g(x)=x と g(x)=1 に選んだことになっています.
ただし,上の話ですと,rei00 さんの
> 求めた f(x) が (1) の条件を満たすか確認します。
は不要ですね.

結局,余り面倒な計算は要らないのですが,
g(x) = dx + e とおいたところで,「こりゃ文字が増えすぎて面倒でダメ」と思ってしまうと
先に進めません.
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この回答へのお礼

>g(x) = dx + e とおいたところで,「こりゃ文字が増えすぎて面倒でダメ」と思ってしまうと
先に進めません。

そうですよね。先に進めないですね。計算してみた所、答えが一致しました。これからは、怖気ずにドンドン解いてみようと思います。丁寧な回答を有難うございました。

お礼日時:2003/06/04 05:42

〔1〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。


ですね。以下参考程度に

[1]は部分積分法を使って、
∫[0~1]f(x)g(x)dx
=F(x)g(x)|-∫[0~1]F(x)g'(x)dx
=F(1)g(1)-F(0)g(0)-∫[0~1]F(x)g'(x)dx
=F(1)g(1)-F(0)g(0)-g'(x)∫[0~1]F(x)dx=0
:f(x)は二次関数なのでその原始関数F(0)=0
g(x)は一次関数なのでg(1),g'(x)は双方とも係数
だから、F[3]をf(x)の積分関数、F[4]をF[3]の積分関数とすれば、
F(1)={g'(x)/g(1)}∫[0~1]F(x)dx
F[3](1)={g'(x)/g(1)}F[4](1)
F[3](1)/F[4](1)={g'(x)/g(1)}
になるように二次関数f(x)の係数を決めればよいということですね。
{g'(x)/g(1)}=1 の場合は、:g(x)=dx の場合ですね。
f(x)=ax^2+bx+c
F[3](1)=a/3+b/2+c
F[4](1)=a/12+b/6+c/2
a/3+b/2+c=(1/2){a/6+b/3+c}

というような感じですね。
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この回答へのお礼

私のように沢山文字を使わなくても解ける問題なんですね。いろいろな解法があって面白いです。参考にして解いてみます。回答、有難うございました。

お礼日時:2003/06/04 05:38

 自分でやらないと力にならないでしょうから,ヒントだけ。



> 〔1〕任意の1次関数g(x)に対して
> ∫{0~1}f(x)g(x)dx=0

 『任意の一次関数 g(x)』に対して成り立つわけですから,g(x) を適当な一次関数に決めます。例えば,g(x)=x, g(x)=x-1, ・・・。

 お書きの様に条件 (2) から式が1つできますね。未知数は a, b, c の3つですから,上記の g(x) は2種類考えます。この時,g(x)=x と g(x)=2x の様に一方を何倍かして他方にならないものを選びます。

 あとは実際に計算すれば,方程式3つが出ますので,それを解いてやれば a, b, c が求まります。

 最後に,求めた f(x) が (1) の条件を満たすか確認します。
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この回答へのお礼

なるほど、この考え方はスッキリしていますね。参考にしつつ、解いてみます!回答有難うございました。

お礼日時:2003/06/04 05:36

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よろしくお願いします

Aベストアンサー

f(x)=ax^2+bx+cとおいて積分の条件から係数a,b,cを決めればよい。
∫(-1~1)f(x)dx=(ax^3/3+bx^2/2+cx)(-1~1)=2a/3+2c=0 (1)
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こんにちは。

二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
   別の言い方では、
   x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
   が恒等式になるような a、b、c を求めればよいということです。

展開すると、
2ax^3 + bx^2 - 2x(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) - 1 = 0
2ax^3 + bx^2 - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx + ax^2 + bx + c - 1 = 0
(a-b)x^2 + (b-2c)x + (c-1) = 0
右辺がゼロなので、恒等式になるためには、
a-b = 0
b-2c = 0
c-1 = 0
ということになります。

ここまで来れば大丈夫ですよね?

なお、私は計算ミスが多いので、最初から点検してください。

こんにちは。

二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
   別の言い方では、
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Aベストアンサー

 #1です。
 補足を拝見しました。

>F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。

 f(x)=ax^2+bx+cとおく方法でしたら、#2さんが言われるように恒等式で解きます。
  (左辺)=F(x)=(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d (d:積分定数)
  (右辺)=x(ax^2+bx+c)-2x^3+3x^2=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx

 ∴(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx
 ⇔2(a/3-1)x^3+(b/2+3)x^2-d=0

 ここで、上の式は任意のxに対して常に成立しなければならない(xについての恒等式な)ので、係数が0でなければなりません。
 ∴a/3-1=0、b/2+3=0、d=0
 ∴a=3、b=-6、d=0

 あとは、これらをf(x)=ax^2+bx+cの式に代入して、f(1)=0となるようにcを決めれば二次関数f(x)が求められます。


 あと別解(私ならこちらで解きます)ですが、与えられた積分方程式を微分してから解く方法もあります。こちらの方が置く文字が少ないので計算しやすいかと思います。
  F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2
  f(x)=f(x)-xf'(x)-6x(x-1)
 ∴f'(x)=6(x-1)  (任意のxに対して成り立たなければならないので)
 ∴f(x)=3x^2-6x+C (C:積分定数)
 ところで、f(1)=0より、C=3なので
 ∴f(x)=3(x-1)^2

 #1です。
 補足を拝見しました。

>F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。

 f(x)=ax^2+bx+cとおく方法でしたら、#2さんが言われるように恒等式で解きます。
  (左辺)=F(x)=(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d (d:積分定数)
  (右辺)=x(ax^2+bx+c)-2x^3+3x^2=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx

 ∴(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx
 ⇔2(a/3-1)x^3+(b/2+3)x^2-d=0

 ここで、上の式は任意のxに対して常に成立しなければならない(xについての恒等式な)ので、係数が0でなければなり...続きを読む


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