関数解析の問題です

こんばんは。
今回の期末試験に次のような問題がでました。

問.　Xは複素バナッハ空間でUは複素平面Cの開集合であるとする。各ｚ∈Uに対してX上の有界線形作用素T(z)が定義され、任意のｚ、ｗ∈Uに対して等式

T(z)-T(w)=(w-z)T(z)T(w)

が成立しているとする。

(1)任意のｚ、ｗ∈Uに対し、T(z)とT(w)は可換であることを示せ。
(2)T(z)の値域はｚ∈Uに依存しないことを示せ。
(3)あるｚ0∈Uに対してT(z0)が単射ならば、任意のｚ∈Uに対してT（ｚ）は単射であることを示せ。
(4)あるｚ0∈Uに対してT(z0)がコンパクト作用素ならば、任意のｚ∈Uに対してT（ｚ）はコンパクト作用素であることを示せ。


（1）はできたのですが（2）で詰まってしまいました。
与えられた等式をT(z)について解いて評価してみたのですがうまくいきません。

(3)(4)についても等式をどのようにして用いればよいのかさっぱりです。
単射、コンパクト作用素の定義はもちろん知っているのですが・・・


どなたか教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/02/04 00:56

>与えられた等式をT(z)について解いて評価してみた

嫌な予感がするので、どんな風にしたのか補足にどうぞ。

この回答への補足

遅くなり、すみません。。

解答には直接書いてないんですけど、ふつうの方程式を解くようにT（ｚ）でくくったりして変形しました。でもT(z)は・・・の等式を満たすしか定義されてないのでそんなことしてはダメですよね・・・？

補足日時：2010/02/05 02:04

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2010/02/05 23:11

(2)について

T(z) = T(w) + (w-z)T(z)T(w)
は第1レゾルベント方程式と呼ばれます。右辺のT(z)にもう一度この方程式を代入すると
　T(z) = T(w) + (w-z)T(w)^2 + (w-z)^2 T(z)T(w)^2
これを繰り返すと
　T(z) = T(w) + (w-z)T(w)^2 + (w-z)^2 T(w)^3 + ...
|w-z|＜∥T(w)∥となるようにzをとれば右辺は収束してT(z)を定める。T(w)の値域をR(T(w))とすれば任意のx∈X について
T(w)^n x ∈R(T(w))だから
T(z)x = T(w)x + (w-z)T(w)^2 x + (w-z)^2 T(w)^3 x + ...∈R(T(w))
すなわち R(T(z))⊆R(T(w))。同様にR(T(w))⊆R(T(z))も言えるから
　R(T(z)) = R(T(w))
解析接続をしてすべてのｚ∈U に対してR(T(z)) = R(T(w))。
こんなところで質問するより自分で参考書を調べることをお勧めします。このサイトは「自称専門家」が「自信あり」でとんでもない回答をしているところですから。

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2010/02/06 00:58

このサイトにはノーベル賞受賞者を無知呼ばわりするという大変な権威とか、素人には逆の意味にしか読み取れないような深い含蓄を垂れる「専門家」とかがいらっしゃいますが、こんな簡単な質問にはあほらしくて回答してられないそうですから非常に不十分ですが私が回答しましょう。

T(z0)が単射である必要十分条件はT(z0)x=0 となる x は x=0 に限ること（行列の場合と同様）。T(z)y=0 となる y≠0 が存在するとすれば
　 T(z0)y = T(z)y + (z-z0)T(z0)T(z)y = 0
ところがこれはT(z0)が単射であることと矛盾。よってT(z)も単射。

No.4 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2010/02/07 13:08

前の回答で

　「|w-z|＜∥T(w)∥となるようにzをとれば右辺は収束して」
とあるのは
　「|w-z|＜ 1/∥T(w)∥となるようにzをとれば右辺は収束して」
に訂正させていただきます。
(4)について
　T(z0)がコンパクト作用素ならば、任意のｚ∈Uに対してXの単位球に含まれる任意の点列{x_n}に対して適当な部分列{x_ni}をとると
T(z0)x_niは強収束する。このとき
∥T(z)x_ni - T(z)x_nj∥=∥(T(z0)+(z0-z)T(z)T(z0))(x_ni - x_nj)∥
≦∥T(z0)(x_ni - x_nj)∥+｜z0-z｜∥T(z)∥∥T(z0))(x_ni - x_nj)∥
右辺は収束するからT(z)x_niも強収束、すなわちT(z)はコンパクト。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
遅くなり申し訳ありません・・・

とても参考になりました。ありがとうございます！
参考書をたくさん調べたりして少しはわかるようになりました。

お礼日時：2010/02/08 21:56