微分法 極限値の求め方が分からない・・・

導関数を先にやっていたのでどうにも極限値の求め方が分かりません。
f(x)=2x^2-4x　なら　f'(x)=4x-4　と言った感じで導関数の公式を用いてできるのですが、limの問題がさっぱりです。
例えば
lim x^2(x+4) 【x→-2】　これだと全てのxに-2を代入して=8となるのに
lim x^2+4x-5 / x^2+x-2 【x→1】　は一度分解して　
lim (x+5)(x-1) / (x+2)(x-1)　としてから
(x+5) / (x+2) として、ここに代入して答えが=2となるんでしょうか？
私は最初の段階で代入してしまい失敗します（分母０なんて存在しないですから違うのは分かるんですが）
数値を入れて良いのはどの段階からでしょうか？

また、導関数の問題なんですが
f(x)=x-3 / 2x+1 と言った感じで分数の形になっている問題は専用の公式みたいな物があるんですか？それとも普通に
f'(x)=1 / 2 になるんでしょうか？

No.3 回答者： tsukita 回答日時： 2010/02/04 18:59

すみません。

回答者No2です。
回答の訂正です。

＞じゃあ、
＞lim x^2+4x-5 / x^2+x-2 【x→1】
＞はというと、【x→1】のとき、分母は０に収束するので、不定形です。

分母と分子が０に収束するので（どんどんちかづくので）不定形です！

No.2 回答者： tsukita 回答日時： 2010/02/04 18:55

こんにちは。

＞導関数を先にやっていたのでどうにも極限値の求め方が分かりません。

そうですね。導関数の学習では、主に計算練習がメインになるので、本質的なところ（極限のところ）のしくみがわからないままになってしまい勝ちです。


＞例えば
＞lim x^2(x+4) 【x→-2】　これだと全てのxに-2を代入して=8となるのに
＞lim x^2+4x-5 / x^2+x-2 【x→1】　は一度分解して　
＞lim (x+5)(x-1) / (x+2)(x-1)　としてから
＞(x+5) / (x+2) として、ここに代入して答えが=2となるんでしょうか？
＞私は最初の段階で代入してしまい失敗します（分母０なんて存在しないですから違うのは分かるんですが）
＞数値を入れて良いのはどの段階からでしょうか？

数字を入れていい段階というのは、明確にはないのですが、基本的な考え方は、【不定形ではダメだ！】ということです。

不定形とは、
∞－∞
∞分の∞
０分の０
などです。
“分母０なんて存在しないですから”と理解できているように、計算なんてできない形を不定形といいます。

ですので、基本的には、不定形の極限は求められません。（よくわからない！というのが素直な気持ちです。）


さて、例えば、
lim x^2(x+4) 【x→-2】
は、不定形ではないので、計算できます。
じゃあ、
lim x^2+4x-5 / x^2+x-2 【x→1】
はというと、【x→1】のとき、分母は０に収束するので、不定形です。
だから、基本的には、わからない！ということになりますが、【式変形をすることで、不定形ではない形にする】という工夫をします。
すると、
＞lim (x+5)(x-1) / (x+2)(x-1)　としてから
＞(x+5) / (x+2)
となって、(x+5) / (x+2) は不定形ではなくなるので、計算できるわけです。

以上のことを反対に言うと、不定形の極限を計算する問題は、
【工夫すれば不定形じゃなくできる】問題ばっかりです。
なので、勉強する際は、不定形じゃなくするための“工夫のしかた”を意識してみてください。


＞また、導関数の問題なんですが
＞f(x)=x-3 / 2x+1 と言った感じで分数の形になっている問題は専用の公式みたいな物があるんですか？それとも普通にf'(x)=1 / 2 になるんでしょうか？

残念！f'(x)=1 / 2にはなりません。
f(x)=x-3 / 2x+1のような関数を分数関数といいますが、このような関数の導関数を求める方法は、数IIIで学習するはずです。

この回答へのお礼

分かり易く説明してくださってありがとうございます。
不定形でなくなった時に計算することができるんですね。

お礼日時：2010/02/04 19:28

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/04 16:47

>(x+5) / (x+2) として、ここに代入して答えが=2となるんでしょうか？

それでOKです。

>数値を入れて良いのはどの段階からでしょうか？

数値を入れると
(分子)/(分母)が 0/0型、∞/∞型にならないように変形してから
数値を入れてもOKです。

> f(x)=(x-3)/(2x+1) と言った感じで分数の形になっている問題は専用の公式みたいな物があるんですか？

公式はありませんが
x→∞のときは x(≠0)で割って
f(x)={1-(3/x)}/{2+(1/x)}→(1-0)/(2-0)=1/2
とします。