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面積1に等しい△ABCにおいて、辺BC、CA、ABを2:1に内分する点をそれぞれL、M、Nとし、線分ALとBM、BMとCN、CN
とALの交点をそれぞれP,Q、Rとするとき
(1)AP:PR:RL=□:□:1である。

解説
△ABLとCNについて、メネラウスの定理によりAN/NB
・BC/CL・LR/RA=1
すなわち2/1・3/1・LR/RA=1
よってLR:RA=1:6・・・・・(1)
また、△ACLとBMについてメネラウスの定理により
AM/MC・CB/BL・LP/PA=1 すなわち
1/2・3/2・LP/PA=1
よって LP:PA=4:3
(1)、(2)から AP:PR:RL=3:3:1

疑問点
LRとRAの比、LPとPAの比をそれぞれ求めているところまでは理解できるんですが、その2つの比をAP:PR:RLの比に適用している部分が理解できません。
つまり、比と比べる相手によって変化しますよね。だから、ある線分の1組の比
(LP:PA、LR:RA)の異なる組を引いて(AR-AP+RL)
比を求めることができるのはなぜですか?? 

A 回答 (2件)

この場合は、同じ線分ALを内分して


LR:RA=1:6
LP:PA=4:3 と、どちらも比の合計が7で同じです。
つまり、これらの比は、全体ALの7に対してそれぞれの線分が
どれだけの割合であるかを示しているのと同じことです。

別の言い方をすれば、(1)ではLR=(1/7)AL、RA=(6/7)AL
ということであり、(2)ではPA=(3/7)ALということなので
PR=RA-PA=(6/7)AL-(3/7)AL=(3/7)ALと
できる、つまり、分子にある比の6-3だけでも計算できるという
ことだと思います。
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この回答へのお礼

なるほど、実にすばらしいです。

お礼日時:2010/02/15 18:03

難しく考えることはありません。

直線上にA,P,R,Lをとると
(1)よりRL=aとするとAR=6a
(2)よりAP=bとするとLP=4b/3
AR+RL=AP+PLより
b=3aよってAP=3a,PL=4a
よってPR=3a
比を取れば
AP:PR:RL=3:3:1
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