至急！質問です（高校数学）

以下の問題において質問です。
（1）は、tanθを用いてみたのですが、かなり複雑になり、
ｘ＝2asinθ＾2、ｙ＝a（tanθ-1）＾2/（1+tanθ＾2）でした。
でも、そうすると、（2）の図示もかなり複雑になってしまい、
おそらく間違っていると思います。。。
複雑なので、お手数ですが、ご指導、お願いいたします。

Ｏを原点とするｘｙ平面上に2点A(a,0)、B(0,a)をとる。
ただし、aは正の定数とする。線分OA上に＜OBC＝θとなる点C、
線分OB上に＜BAD＝θとなる点Dをとり、
線分ADと線分BCの交点をPとする。
θが0＜θ＜π/4の範囲で動く時、点Pの軌跡を曲線Cとする。
（1）Pの座標をθで表せ。
（2）曲線Cの方程式を求め、図示せよ。
（3）Pにおける曲線Cへの接線へ、
　　点Aおよび点Bからおろした垂線の足をそれぞれ、E、Fとするとき、
　　線分EFの長さlをθを用いて表せ。
（4）（3）において、ｌの取りうる値の範囲を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/02/16 21:56

(3)、(4)とも合ってます。

(3)は座標計算で求めようとすると大変ですが、図を描いてみると簡単に分かります。
点(a,a)とPを結ぶ直線に、点Aおよび点Bからおろした垂線の足をそれぞれ、G、Hとすると、
EFの長さ＝（EPの長さ）＋（FPの長さ）＝（AGの長さ）＋（BHの長さ）＝asin2θ+acos2θ

この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます。
計算大変でしたので、目からうろこでした。
言われてみれば気づくのに…まだまだですね。
またお世話になることがあるかもしれません。
そのときは、どうぞよろしくお願いいたします。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/17 00:46

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/02/16 00:38

＞ｘ＝2asinθ＾2、ｙ＝a（tanθ-1）＾2/（1+tanθ＾2）

合ってますが、もう少し整理すると、
x=2asinθ^2=a(1-cos2θ)
y=a(tanθ-1)^2/(1+tanθ^2)=a(sinθ-cosθ)^2=a(1-sin2θ)

この式は、
x-a=acos(π+2θ)
y-a=asin(π+2θ)
となるので、点(a,a)を中心とする半径aの円です。

この回答への補足

（4）a＜ｌ≦√2×a の間違いです。

補足日時：2010/02/16 20:42

この回答へのお礼

回答、ありがとうございました。
きれいにまとめる所まで頭が回りませんでした。
2倍角など、すぐに思いつかなくてはなりませんね。
その後、計算は面倒でしたが、
（3）ｌ＝a（sin2θ＋cos2θ）となり、
（4）a＜ｌ＜√2×a
となりました。合っているかわかりませんが。。。

お礼日時：2010/02/16 19:57