堅い地面から、高さL(m),バネ定数K(t/cm),単位長さ当たりの質量w(t/m)の棒が立っているとします。
この棒の固有周期はどんな数式で表せますでしょうか?
T=2π√(wL/K)で良いでしょうか(1質点での固有周期だから違うような気がしています)

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A 回答 (2件)

すいません。



L(m)と、先程の1,2,3)の他、密度も必要です。忘れてました。

断面2次モーメントも、要するに、縦・横寸法が分かればいいです。

高さ(=長さ、L)と単位長さ当たりの質量wがGivenですから、縦横寸法が分かれば密度は自然に求まりますね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
突然、締め切ってしまったことをお許しください。

鋼管製のアンテナ用ポール(高さ15m)の固有周期を算出しようとしておりまして、質問を投稿した次第なのですが、実は自力で解決してしまいました。
日本建築センターの「煙突設計指針」に
T=0.0057√(WH^3/EI)という近似式を発見しまして、これを使うこととしました。
W:地上部分の全質量(t)
E:筒身のヤング係数(t/cm^2)
I:筒身底部の断面2次モーメント(m^4)
H:ポールの高さ(m)

ametsuchiさまの貴重なお時間を、説明不足のJIMIの愚問に費やしてしまわれたことに非常に恐縮しております。
すいませんでした。

お礼日時:2001/03/28 12:03

昔少し構造解析をやっただけで、経験者という自信はないですが...。



先ず、これはバネ秤のように軸方向の伸び縮みだけ考えればいいのでしょうか?
それとも、軸に直交する方向にも撓むのでしょうか?

通常「棒」を考えると、軸方向の伸び縮みよりも、軸に直交する方向への撓みのほうが遥かに「楽」で、第一次の固有振動数もそれになります。

構造解析的には、この場合、典型的な「片持ち梁」になると思います。そして、Lはいいとして、

1)ヤング率
2)ポアッソン比
3)断面形状、というより直接には、「軸周り断面2次モーメント」

で固有振動数が決ります。固有振動数は一つではありません。

軸方向の伸び縮みだけに限定した場合、私の計算力ではすぐ答えを出せませんが、直感的には、T=2π√(wL/K)ではないと思います。何故なら、質点が棒の先端に集中しているのと、棒全体に分布するのでは、動特性(=慣性)がまるで違うからです。
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Aベストアンサー

No.2です。
ダラダラ試算を書きましたが、「類似例」で示せばよかったのですね。

「水中」であることを無視すれば、50 km/h ≒ 14 m/s なので、「約10mの高さから自由落下させて、地面と衝突する」ときと同等です。
「クジラの頭に、10mの高さから落ちたときの衝撃」と言えばよさそうです。

「クジラの頭の弾力性」がよく分かりませんが、コンクリートの床のような硬さなら大怪我(うちどころが悪ければ死亡)、ソファやクッションのような衝撃吸収ができれば無傷もしくは軽傷でしょう。
陸上競技の棒高跳びでは、5m程度の高さから落ちて当然無傷です。

(計算式)
加速度:重力加速度 g=9.8 (m/s²)  (1)
t 秒後の速度:V = g*t (m/s)(t=0 での初速度をゼロとする)  (2)
t 秒後の落下距離:y = (1/2)g*t² (m)(t=0 での初期位置をゼロとする)  (3)

V = 14 (m/s) となる時刻は、(2)より
  14 = 9.8 * t
より
  t ≒ 1.43 (s)
この時間に落下する高さは、(3)より
  y = (1/2) * 9.8 * (1.43)² ≒ 10 (m)

従って、高さ 10 m から自由落下させると、地面と 14 m/s = 50 km/h の速度で衝突する。

No.2です。
ダラダラ試算を書きましたが、「類似例」で示せばよかったのですね。

「水中」であることを無視すれば、50 km/h ≒ 14 m/s なので、「約10mの高さから自由落下させて、地面と衝突する」ときと同等です。
「クジラの頭に、10mの高さから落ちたときの衝撃」と言えばよさそうです。

「クジラの頭の弾力性」がよく分かりませんが、コンクリートの床のような硬さなら大怪我(うちどころが悪ければ死亡)、ソファやクッションのような衝撃吸収ができれば無傷もしくは軽傷でしょう。
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こっちはkmに直しなさいって意味です→km/s←これは秒に直しなさいって意味ですw

直してみますw

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直りましたw


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割ってみますw

1km/300秒=0.00333333

割れましたw

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解答を見ると最も離れるのは相対速度が0とあるのですがどういうことでしょうか?
時間の制限がないので、距離は無限に離れてしまうのではないのでしょうか?
また、相対初速度が、20m/sであり、抜き去る時に車の位置は-125で、公式に当てはめて求めるというようにあったのですが、出発点からすでに移動しているので仮に列車の先端を基準としても、-125というのは移動している分を考えていないためおかしいのでは?
解説をお願いします。

Aベストアンサー

回答すべき問いは次の二つでしょうか。
1) 電車から見て車は最大何m先まで離れるか?
2) また電車が車を抜き去るには何sかかるか?

1)の「最大何m先」とは、「先」とあるので前方位置でしょう。
「時間の制限がないので、距離は無限に離れてしまうのでは」は後方とした場合です。

> 解答を見ると最も離れるのは相対速度が0とあるのですが…
両者が同一速度の時、でしょう。難しいことは言っていないと思いますが。

> 長さ125mの電車と小さな車が並んでいる。
これは、鼻先が同じ一、ということでしょう。
条件として明示されていなければ、不親切な設問です。
> 抜き去る時に車の位置は-125で、…
これは電車の長さでしょう。
つまり、電車が車に追いついても、更に電車の長さ分だけ先行しないと「抜いたとは言えない」ことを言っていると思います。
つまり、車が電車の鼻先-125となった時が抜かれた瞬間。

> 出発点からすでに移動しているので…
時間基準t=0の説明が無いのも、不親切な設問と言えます。
 止まっている列車の後方から車が走ってきて、
 車の鼻先が列車の鼻先と一致した時をt=0とし、
 その時、車は20m/sで、以降は加速度は1m/s^2とし、
 電車は静止状態から加速度3m/s^2で動き出す。
これならば解きやすいでしょうか。

設問自体を整理できるか否かも解答者の評価、と言われてしまえば何とも言えませんが。

回答すべき問いは次の二つでしょうか。
1) 電車から見て車は最大何m先まで離れるか?
2) また電車が車を抜き去るには何sかかるか?

1)の「最大何m先」とは、「先」とあるので前方位置でしょう。
「時間の制限がないので、距離は無限に離れてしまうのでは」は後方とした場合です。

> 解答を見ると最も離れるのは相対速度が0とあるのですが…
両者が同一速度の時、でしょう。難しいことは言っていないと思いますが。

> 長さ125mの電車と小さな車が並んでいる。
これは、鼻先が同じ一、ということでしょう。
条件と...続きを読む

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また人体実験ではどこまでやったのでしょう?

Aベストアンサー

簡単な計算で求めてみましょう。

 空気の抵抗は、速さの二乗に比例するようです。従って、落下方向を正とした運動方程式は、空気抵抗係数をkとして

   F = m*g - k*v^2  (1)

 こちらのサイトによると、人間のスカイダイビングを想定すると k=0.24(kg/m) というような値だそうです。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1238740974

 これを使い、体重 m=60kg、簡単のため重力加速度 g=9.8m/s^2 → 10m/s^2 として計算すると、(1)式で落下しようとする重力と空気抵抗による力が釣り合うのは、

    m*g = k*v^2

のときで、このときの v は

    v = √(m*g/k) = √[(60kg*10m/s^2)/(0.24kg/m)] = 50(m/s)

になります。時速に直すと 180km/s ですから、No.1さんの回答に一致します。

 これは「下向きの重力」と「空気抵抗による上向きの力」が釣り合った状態なので、これ以上の加速度は下向きにも上向きにも働かず、この速さで「等速運動」することになります。つまり、高いところから飛び降りたとすると、これが最高速度になり、地面に達するときにはこの速さであるということです。

 次に、この「 50m/s 」で着地することを考えます。
 人間の足が、自分の体重の2倍の力まで耐えられると仮定します。自分と同じ60kgの人をおんぶした状態ですから、その程度は耐えられるでしょう。

 これは、落下速度にブレーキをかける上向きの力 m*g が働くのと同じです。このときの上向きの加速度が g です。このときの着地から t 秒後の速度は

   v(t) =50 - g*t    (2)

ですから、速さがゼロまで減速されるのは、

   50(m/s) - 10(m/s^2) * t(s) = 0

から、t=5(s) です。つまり、gの加速度を5秒間かければ停止します。

 (2)の速度で進む距離は、(2)を時間で積分して、t=0 のときを x=0 とすると

   x = 50 * t - (g/2)*t^2   (3)

となります。従って、5秒間に進む距離は、(3)に t=5 を代入して 125m ということが分かります。

 つまり、自分の体重の2倍(つまり「2G」ですね)程度に耐えて踏ん張れば、緩衝材(クッション)で 125m 沈み込んだ状態で、速度がゼロになるということです。
(通常なら、このクッションはこの後、沈み込んだ状態から「反発」して逆方向に動き出しますので、そのエネルギーをどうやって逃がせばよいのかは、質問者さんの方で考えてください)

 もっと大きな「G」をかけてよいなら、(2)(3)式の「g」をもっと大きくすればよいのです。

 人間の骨折や死に至る「G」が分かれば、それを(2)(3)式に代入すればよいのです。(静止状態でも人間にかかる「1G」分を差し引いて、それを(2)(3)式に代入するブレーキ加速度にしてください)
 また、足から落下する最高速度を、No.1さんの「280km/h」にする場合には、これを秒速にした「約80m/s」を使ってください。

簡単な計算で求めてみましょう。

 空気の抵抗は、速さの二乗に比例するようです。従って、落下方向を正とした運動方程式は、空気抵抗係数をkとして

   F = m*g - k*v^2  (1)

 こちらのサイトによると、人間のスカイダイビングを想定すると k=0.24(kg/m) というような値だそうです。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1238740974

 これを使い、体重 m=60kg、簡単のため重力加速度 g=9.8m/s^2 → 10m/s^2 として計算すると、(1)式で落下しようとする重力と空気抵抗による力が釣り合うのは、

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QMathematicaでのTr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];

pauli2times[g1_,g2_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]];

g1={{0,1},{1,0}};
g2={{0,-I},{I,0}};
g3={{1,0},{0,-1}};
g0={{1,0},{0,1}};

gu[0]=pauli2times[g2,g3];
gu[1]=-pauli2times[g1,g3];
gu[2]=pauli2times[g0,g2];
gu[3]=-pauli2times[g0,g1];

e4=IdentityMatrix[4];

gd[0]=1*gu[0];
gd[1]=-1*gu[1];
gd[2]=-1*gu[2];
gd[3]=-1*gu[3];

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*-q1+gu[2]*-q2+gu[3]*-q3);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*-p1+gu[2]*-p2+gu[3]*-p3);
sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*-k1+gu[2]*-k2+gu[3]*-k3);
gmu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gnu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gmd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);
gnd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);

ms=m*e4;


(*式ー1*)
s=0;
y1=0;
For[x=0,x£3,x++,
s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]];
y1=y1+s;
Print[FullSimplify[y1]];
];

(*式ー2*)
y2=Tr[(sl[q]+ms).gmu.(sl[p]+sl[k]+ms).gnu(sl[p]+ms).gnd.(sl[p]+sl[k]+ms).gmd];
Print[FullSimplify[y1]];

(*式ー3*)
y3=Tr[(-2sl[q]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms).(-2sl[p]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms)];

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Fla...続きを読む

Aベストアンサー

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]]
としたのでは
γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d + γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(2)
のような計算をすることになります。また(*式ー2*)では
(γu0+γu1+γu2+γu3) (γu0+γu1+γu2+γu3) (γd0+γd1+γd2+γd3) (γd0+γd1+γd2+γd3) …(3)
のような計算になってしまいます。(1)と(2)(3)は等しくありません。これは単にプログラミングのミスでしょうか。(1)はローレンツ不変な形になっていますが、(2)(3)はローレンツ不変な形ではありません。ローレンツ不変でない式を書くようでは基本的な部分の理解が不十分なのではないでしょうか。これは数式処理とか場の量子論の問題ではありません。場の量子論の問題とはもっと重要で微妙な問題のことを指します。

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x]....続きを読む


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