はじめまして!!
これから振動解析を勉強しようと思っている者です。
突然ですが、留数定理というものはなんでしょうか?
どういった時ににどうゆふうに使うものかお教え下さい。

A 回答 (3件)

inukoroです。

応用数学的な答えでいいですかね?(厳密さは省いてあります)

○留数定理○
複素数の空間で適当な閉曲線Cがあって、そのCの周りを一周するとき積分値が、
2πiΣRes(a)となる。このとき、Z=aは閉曲線Cで囲まれた領域内で特異点となり、Res(a)とはその特異点での留数である。
ただし、留数は1/(z-a)の係数を指す。

従って、上の定理は難しい複素積分もその中の特異点を考えて1/(z-a)の係数の和を取れって2πiだけ掛ければ答えは簡単にもとまってしまうという事を言っています。任意の閉曲線Cなので、問題よって閉曲線のとり方を自分で設定することができます。円、単位円、上半円などが多いです。もちろん複素平面上ですが。
留数自体の求め方は他にいろいろあるので、複素関数の教科書や応用数学の教科書の方を見て下さい。

参考までに:「複素関数論」共立出版株式会社、有馬朗人・神部勉 著
      「応用数学講義」培風館、堀口剛・海老澤丕道・福井芳彦 著
    • good
    • 1
この回答へのお礼

とってもわかりやすく説明していただき、ありがとうございました。
今回はじめて質問をさせていただいて、明確でわかりやすい回答が
こんなに早く得られるとは思いませんでした。
とても助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/03/30 09:55

固有振動数を求めようとすると留数が出て来ます。


グリーン関数というのがあると思いますが、
大雑把にいうと留数が0でないとき
それに発散する点があり固有振動数があることになります。
    • good
    • 0

「複素平面上の関数f(z)を任意の閉曲線に沿って積分したとき、その留数をRとすると



  ∫f(z)dz = 2πiR

がなりたつ。」(∫はここでは周回積分)

……と書いてても自分でも理解が怪しいのはご勘弁いただきたいのですが、この定理は複素関数の定積分を求めるときに使います。振動解析では複素積分は出てきますか?

留数定理の話も含めた複素関数の話については、次の本をおすすめします。

小野寺嘉孝『なっとくする複素関数』講談社, ¥2300, ISBN4-06-154526-4

他にも『なっとくする解析力学』『なっとくする物理数学』なども出ています。

参考URL:http://www.bookclub.kodansha.co.jp/Scripts/bookc …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

amajunさん、早急な回答ありがとうございます。
数学的なことはほとんどわからずに振動解析をやらなければ
いけない状況になってしまい、素人の私にはちんぷんかんぷんで…
(もちろん複素積分も出てきます。)
さっそく本を探して一から勉強してみます。

お礼日時:2001/03/29 09:38

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q留数の求め方。

問題:次に示す関数について各問いに答えなさい。
f(z)=e^jz/{(2z-π)(z-π)}
(1)関数fの特異点における留数を求めなさい。
(2)積分路C:|z-1|=1の正の向きに沿って積分しなさい。
(3)積分路C:|z|=1の正の向きに沿って積分しなさい。

留数については、特異点が、z=π/2,πで、f(z)を部分分数に分解していくですよね。そこで問題なのが
・虚数が含まれてても、係数合わせでといていいんでしょうか?
・そのあと、どうすれば留数が出てくるんでしょうか?
ご指導よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)
竜数を求めるのに部分分数に分解する必要はありません。
A=lim(z→a)f(z)・(z-a)
が求まればf(z)のz=aにおける竜数はAです。

(2)(3)
積分閉曲線が左に囲む部分にあるf(z)の特異点の竜数の総和がSならば
∫f(z)dz=2・π・i・S
です。

Q複素解析 留数定理

∫[|z|=3] dz/(z^2 -3z+2)
∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1)

という2つの問題を留数定理を使って自分なりにチャレンジしてみたのですが、よく理解できないところがあるので質問させていただきます。
まず特異点(?)を求めるのに2問とも分母=0としました。
そして留数を出すのにlim(z→a) f(z)(z-a) としました。
最後に留数定理で2πiをかけて、それぞれ答えが0、πiとなりました。
参考書の見よう見まねでやったので、ほとんどチンプンカンプンな状態なんですが答えとしては合っていますでしょうか。
また、留数を求める際に「○位の極」っていうのを意識しないといけないようなのですが、ここではどうなのでしょうか。
最後に、問題に「反時計回り一周の積分である」とありますが、特に意識しないといけませんか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.1です。
最初の問題の分母は(z^2 -3z+2)ですからこれを因数分解して(z-2)(z-1)
(z-2)と(z-1)はどちらも2乗や3乗されていないく1乗されています。だからz=2とz=1どちらとも1位の極ですね。

たとえば(z-2)(z-1)^2となっていればz=2は1位の極z=1は2位の極です。
この場合はz=1の留点を求める場合1回微分する必要があります。

次の問題の分母は(z+1)(z^2 +1)ですから因数分解して(z+1)(z+i)(z-i)
これはどうでしょうか?
(z+1)と(z+i)と(z-i)はすべて1乗されています。だからz=-1,z=i,z=-iはすべて1位の極ですね。

たとえば(z+1)(z+i)^2(z-i)となっていればz=-1は1位の極、z=-iは2位の極、z=iは1位の極です。
z=-iの留点を求める場合1回微分する必要があります。

Q留数定理を使った実積分の計算

留数定理を使った実積分の計算

下記積分を、留数を使って計算しました。
図のように上半面の留数を使ったときと、
下半面の留数を使ったときでは、値がマイナス違いました。
つまり、-3π/80になってしまいました。
これは正しい間違いなのでしょうか?
そしたら、なぜマイナスがついてしまったのでしょうか?

教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

積分閉路の中の領域に含まれる極は閉路の向きの左側の領域に含まれる極に付いて留数和を取ります。下の積分閉路の回り方は反時計回りなので閉路の領域は外側で、外側の領域に含まれる極の留数和は上半分の領域の留数和になります。逆なのでマイナスになるのでしょう。

積分閉路の作り方を確認してみてください。

Q複素関数(留数定理)

複素積分に関しての質問です。

C:|z|=1 反時計回り向き
とするとき
∫c (tan z)/z^4 dz
を求める問題です。

極z=0の位数は、sin z /z が正則になることより3だと思う
のですが、計算すると答えが発散してしまいます。

4で計算すると答えが合います(2πi/3)。

どういうことなのでしょうか??
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ちゃんと留数を求める、あるいはローラン展開して1/zの項の係数を求めて、
留数定理を適用して下さい。

ローラン展開は
tan z をz=0でテイラー展開してから全体を z^4 で割ってやればいいでしょう。
そうすれば
留数が 1/3 になりませんか?

留数定理により、
積分は 2πi(1/3)
となります。

2位以上の極(特異点)を持つ複素関数における留数定理やm位の極を持つ場合の留数の求め方を今一度、復習し直してみて下さい。
複素積分は、積分経路内の、ローラン展開における1位の極、つまり留数のみの和をとって、2πi倍したものになります。

参考URL:http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap11.pdf

Q留数のところが・・・。

f(z)=1/{z・sin(z)}
の特異点と、留数を求めよ。

という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?
ここから、留数のもとめかたがわかりません。
詳しい方お願いします。

留数の定理は一応しっております。

Aベストアンサー

> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?

あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3…)が特異点ですよ.

z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります.
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です.
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です.

さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が
(2)  f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから,
(3)  z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
です.
したがって,係数 B (すなわち,留数)は
(4)  B = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)}
で求められます.

同様に,z=nπ ならローラン展開は
(5)  f(z) = B/(z-nπ) + C + D(z-nπ) + E(z-nπ)^2 + ...
ですから,
(6)  B = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)}
です.

計算は容易ですからお任せします.

公式にするなら,
f(z) が z=a において k 位の極を持つときには,そこでの留数は
(7)  {1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)}
ということになります.
(4)は k=2,(6)は k=1 の場合ですね.

> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?

あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3…)が特異点ですよ.

z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります.
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です.
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です.

さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が
(2)  f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから,
(3)  z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
...続きを読む

Q留数定理を用いた積分

∫(x^2/(x^6+1) dx(-∞~+∞)の計算なのですが、f(x)を複素関数として留数定理をつかって考えるというのはというのはわかるのですが、留数定理をどう使うのかがわかりません。あと極という言葉の意味がわからないのでそのへんの説明もしてくれたらマジで助かります。回答してくれたら幸いです。

Aベストアンサー

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な3つの積分定理(公式)とローラン展開(テイラー展開)が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/residue/integral2.htm
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node7.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB01_80_03.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node38.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090cmp.html
http://www2.kobe-u.ac.jp/~ynaito/com/com-16.pdf

ちなみに、質問の積分はπ/3になります。

注)
有理関数の分母の零点(zeros)を有理関数の極(poles)という。

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な3つの積分定理(公式)とローラン展開(テイラー展開)が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_...続きを読む

Q留数定理とコーシーの積分公式・グルサの定理

単刀直入に聞きます。
留数定理で1周線積分が求まります。
では、留数定理が使えれば、コーシーの積分公式・グルサの定理を使う必要はないのでしょうか。

Aベストアンサー

>留数定理で1周線積分が求まります。
>では、留数定理が使えれば、
1周線積分経路内の特異点における留数がすべて求まるという前提条件の元では、留数定理を使って積分すればいいでしょう。

Q留数定理について質問です。

留数定理について質問です。
次のような問題が出題されました。
「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。

(d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」

解答の詳細は省略しますが

G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2)

の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。)
これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します。極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと
Res(κ)=exp[iκ(x-ξ)]/(2κ)より
x-ξ>0のときG=i{exp[iκ(x-ξ)]}/(2κ)
とあります。ここまではいいのですがx-ξ<0の場合、

「同様に、G=i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ) (x-ξ<0)」
となっています。自分の計算ではG=-i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ)となるのですが、何故合わないのか分かりません。留数の公式に当てはめるとexpの肩と全体の符号が極の選び方で逆になるように思うのですが、解答では全体の符号が変化していないように思います。
x-ξ<0の場合の計算の詳細を教えていただけないでしょうか?

留数定理について質問です。
次のような問題が出題されました。
「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。

(d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」

解答の詳細は省略しますが

G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2)

の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。)
これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します...続きを読む

Aベストアンサー

>極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内
>に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと

>[-∞,∞]で計算することに帰着します。
このループの積分路で、x-ξ<0の場合に、k=-κを右に見て回るように
積分を考えましたか?

Q留数について

留数について

f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。

留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
です。
1/z^2の積分は、-1/zですよね?
周回積分は0~2πですよね?
∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?

Aベストアンサー

>f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。
留数の定義は、f(z)をローラン展開したときのz^(-1)の項の係数です。

f(x) = 1/(z^2)
    = 1/(z^2) +0*(1/z) +0 +0*z +0*z^2 +...
と見ると、z^(-1)の項の係数は0ですね。


>留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
>周回積分は0~2πですよね?
>∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?

発散しません。
周回積分のところで、
  ∫[0~2π]{f(z)}dz
を計算していませんか?

周回積分の正しい計算は
  ∫[c]{f(z)}dz  (c:|z|=1)
です。

|z|=1より、z=exp(i*t) (0≦t<2π)と書けます。
z=exp(i*t)と変数変換すると、
  dz = i*exp(i*t)*dt
  ∫[c]{f(z)}dz = ∫[0~2π]{f(exp(i*t))*i*exp(i*t)}dt
右辺を計算すると0になります。

周回積分の計算方法を確認してください。

>f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。
留数の定義は、f(z)をローラン展開したときのz^(-1)の項の係数です。

f(x) = 1/(z^2)
    = 1/(z^2) +0*(1/z) +0 +0*z +0*z^2 +...
と見ると、z^(-1)の項の係数は0ですね。


>留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
>周回積分は0~2πですよね?
>∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?

発散しません。
周回積分のところで、
  ∫[0~2π]{f(z)}dz
を計算していませんか?

周回積分の正しい計算は
  ∫[c]{f(...続きを読む

Q留数定理の問題です!!

∫(0→∞]1/(x^2+1)^3 dx という問題なのですが、どんな本にもこのような形のものがなく、どのような答えになるかわかりません。
よろしかったらどなたか解法を教えてください。

Aベストアンサー

No.1 です。
「なぜ留数定理なのかわからない」と書いたのは、「どんな本にもこのような形のものがなく」と言われるので、実積分ではできないか特殊なものと思われているのだろうと考えたためです。留数を使って解くなら教科書に載っている複素積分の例題演習程度の易しい問題なので、お答えするならこれも実は難しくない部類の実積分を示そうと考えたわけです。回答としては片手落ちの形ですね。
ご質問としては丸投げの形と取られるかもしれないので削除される可能性がありますから、以下の補足が役に立つならセーブされることをお勧めします。

留数を用いる解法については、すでに他の方々が回答されているので概略だけを示せば、
被積分関数は偶関数なので、x を複素数、積分範囲を-∞~∞に拡張し、上半平面に x=i で3位の極を持つのでそれを囲むように、実軸と原点を中心とする上半平面の半円をとって半径→∞の極限を取れば、積分は結局 x=i での留数(の2πi倍)(積分範囲を拡張したのでさらに1/2倍)になります。留数は lim[x→i] [ (d^3/dx^3){ (x-i)^3/((x+i)(x-i))^3 } ]。

一般に多項式有理関数 f(x)=Q(x)/P(x) (P、Qは多項式)の実積分は初等関数で表すことができます。それには部分分数展開して分子を1次以下、分母を2次以下にしますが、そのためには分母の零点を求めて因数分解する必要があります。
複素積分でも極を定めるために分母の多項式の零点を求める必要があり、留数を求めるためには極の位数に従って微分するか、部分分数展開するので、ほとんど同じことをやる手間が必要です。
いずれでやるにせよ、多項式の零点は5次以上になると一般には(特殊な場合を除いて)代数的に求める事ができないことに注意して下さい。4次までなら代数的解の公式があります。

さて、実解析の場合ですが、上記のような多項式有理関数を部分分数展開できたならば、もっとも次数の高い項は (ax+b)/(x^2+2px+q)^n (p^2-q<0、n≧1)の形になります。これを平方完成して t=x+p と変数変換すると、結局 t/(t^2+a^2)^n と 1/(t^2+a^2)^n の形の積分の和に帰着します。

最初のものはt^2+a^2 = u と変換すれば簡単です。
次のものは、
I[n] = ∫dt/(t^2+a^2)^n (n≧1)
とおいて漸化式を求めます。ここで、
I[1] = ∫dt/(t^2+a^2) = (1/a)tan^(-1)(t/a)
は、t = a tanθ と変換するお馴染みの積分です。

n≧2 に対して、I[n-1] に部分積分を施せば、
(d/dt)(t^2+a^2)^(-(n-1)) = -2(n-1)t(t^2+a^2)^(-n)
を利用して、
I[n-1] = x/(x^2+a^2)^(n-1) + 2(n-1)I[n-1] - 2a^2(n-1)I[n]
ゆえに、
I[n≧2] = ( 1/(2a^2(n-1)) ) ( (2n-3)I[n-1] + x/(x^2+a^2)^(n-1) )

これから 1/(x^2+1)^3 の積分が求められます。部分積分は留数を求めるための微分より大変そうに見えますが、形は簡単なので慣れているかどうかだけですね。実はこれは大学4年以下の理系の実解析学で学ぶはずのものです。

No.1 です。
「なぜ留数定理なのかわからない」と書いたのは、「どんな本にもこのような形のものがなく」と言われるので、実積分ではできないか特殊なものと思われているのだろうと考えたためです。留数を使って解くなら教科書に載っている複素積分の例題演習程度の易しい問題なので、お答えするならこれも実は難しくない部類の実積分を示そうと考えたわけです。回答としては片手落ちの形ですね。
ご質問としては丸投げの形と取られるかもしれないので削除される可能性がありますから、以下の補足が役に立つなら...続きを読む


人気Q&Aランキング