はじめまして!!
これから振動解析を勉強しようと思っている者です。
突然ですが、留数定理というものはなんでしょうか?
どういった時ににどうゆふうに使うものかお教え下さい。

A 回答 (3件)

inukoroです。

応用数学的な答えでいいですかね?(厳密さは省いてあります)

○留数定理○
複素数の空間で適当な閉曲線Cがあって、そのCの周りを一周するとき積分値が、
2πiΣRes(a)となる。このとき、Z=aは閉曲線Cで囲まれた領域内で特異点となり、Res(a)とはその特異点での留数である。
ただし、留数は1/(z-a)の係数を指す。

従って、上の定理は難しい複素積分もその中の特異点を考えて1/(z-a)の係数の和を取れって2πiだけ掛ければ答えは簡単にもとまってしまうという事を言っています。任意の閉曲線Cなので、問題よって閉曲線のとり方を自分で設定することができます。円、単位円、上半円などが多いです。もちろん複素平面上ですが。
留数自体の求め方は他にいろいろあるので、複素関数の教科書や応用数学の教科書の方を見て下さい。

参考までに:「複素関数論」共立出版株式会社、有馬朗人・神部勉 著
      「応用数学講義」培風館、堀口剛・海老澤丕道・福井芳彦 著
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この回答へのお礼

とってもわかりやすく説明していただき、ありがとうございました。
今回はじめて質問をさせていただいて、明確でわかりやすい回答が
こんなに早く得られるとは思いませんでした。
とても助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/03/30 09:55

固有振動数を求めようとすると留数が出て来ます。


グリーン関数というのがあると思いますが、
大雑把にいうと留数が0でないとき
それに発散する点があり固有振動数があることになります。
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「複素平面上の関数f(z)を任意の閉曲線に沿って積分したとき、その留数をRとすると



  ∫f(z)dz = 2πiR

がなりたつ。」(∫はここでは周回積分)

……と書いてても自分でも理解が怪しいのはご勘弁いただきたいのですが、この定理は複素関数の定積分を求めるときに使います。振動解析では複素積分は出てきますか?

留数定理の話も含めた複素関数の話については、次の本をおすすめします。

小野寺嘉孝『なっとくする複素関数』講談社, ¥2300, ISBN4-06-154526-4

他にも『なっとくする解析力学』『なっとくする物理数学』なども出ています。

参考URL:http://www.bookclub.kodansha.co.jp/Scripts/bookc …
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この回答へのお礼

amajunさん、早急な回答ありがとうございます。
数学的なことはほとんどわからずに振動解析をやらなければ
いけない状況になってしまい、素人の私にはちんぷんかんぷんで…
(もちろん複素積分も出てきます。)
さっそく本を探して一から勉強してみます。

お礼日時:2001/03/29 09:38

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Q複素解析 留数定理

∫[|z|=3] dz/(z^2 -3z+2)
∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1)

という2つの問題を留数定理を使って自分なりにチャレンジしてみたのですが、よく理解できないところがあるので質問させていただきます。
まず特異点(?)を求めるのに2問とも分母=0としました。
そして留数を出すのにlim(z→a) f(z)(z-a) としました。
最後に留数定理で2πiをかけて、それぞれ答えが0、πiとなりました。
参考書の見よう見まねでやったので、ほとんどチンプンカンプンな状態なんですが答えとしては合っていますでしょうか。
また、留数を求める際に「○位の極」っていうのを意識しないといけないようなのですが、ここではどうなのでしょうか。
最後に、問題に「反時計回り一周の積分である」とありますが、特に意識しないといけませんか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.1です。
最初の問題の分母は(z^2 -3z+2)ですからこれを因数分解して(z-2)(z-1)
(z-2)と(z-1)はどちらも2乗や3乗されていないく1乗されています。だからz=2とz=1どちらとも1位の極ですね。

たとえば(z-2)(z-1)^2となっていればz=2は1位の極z=1は2位の極です。
この場合はz=1の留点を求める場合1回微分する必要があります。

次の問題の分母は(z+1)(z^2 +1)ですから因数分解して(z+1)(z+i)(z-i)
これはどうでしょうか?
(z+1)と(z+i)と(z-i)はすべて1乗されています。だからz=-1,z=i,z=-iはすべて1位の極ですね。

たとえば(z+1)(z+i)^2(z-i)となっていればz=-1は1位の極、z=-iは2位の極、z=iは1位の極です。
z=-iの留点を求める場合1回微分する必要があります。

Q留数定理とコーシーの積分公式・グルサの定理

単刀直入に聞きます。
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Q複素関数(留数定理)

複素積分に関しての質問です。

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Aベストアンサー

ちゃんと留数を求める、あるいはローラン展開して1/zの項の係数を求めて、
留数定理を適用して下さい。

ローラン展開は
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そうすれば
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積分は 2πi(1/3)
となります。

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複素積分は、積分経路内の、ローラン展開における1位の極、つまり留数のみの和をとって、2πi倍したものになります。

参考URL:http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap11.pdf

Q留数定理を用いた積分

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Aベストアンサー

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な3つの積分定理(公式)とローラン展開(テイラー展開)が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/residue/integral2.htm
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node7.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB01_80_03.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node38.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090cmp.html
http://www2.kobe-u.ac.jp/~ynaito/com/com-16.pdf

ちなみに、質問の積分はπ/3になります。

注)
有理関数の分母の零点(zeros)を有理関数の極(poles)という。

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Q留数定理について質問です。

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次のような問題が出題されました。
「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。

(d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」

解答の詳細は省略しますが

G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2)

の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。)
これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します。極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと
Res(κ)=exp[iκ(x-ξ)]/(2κ)より
x-ξ>0のときG=i{exp[iκ(x-ξ)]}/(2κ)
とあります。ここまではいいのですがx-ξ<0の場合、

「同様に、G=i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ) (x-ξ<0)」
となっています。自分の計算ではG=-i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ)となるのですが、何故合わないのか分かりません。留数の公式に当てはめるとexpの肩と全体の符号が極の選び方で逆になるように思うのですが、解答では全体の符号が変化していないように思います。
x-ξ<0の場合の計算の詳細を教えていただけないでしょうか?

留数定理について質問です。
次のような問題が出題されました。
「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。

(d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」

解答の詳細は省略しますが

G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2)

の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。)
これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します...続きを読む

Aベストアンサー

>極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内
>に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと

>[-∞,∞]で計算することに帰着します。
このループの積分路で、x-ξ<0の場合に、k=-κを右に見て回るように
積分を考えましたか?


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