試行回数による信頼度の比

Question

試行回数による信頼度の比

分かる方がいらっしゃったら教えて頂けませんか。

★　★　★　★　★

平均 M 、分散 S^2 の分布で示される実数 R があります。
また、R の値を読み取るための、n個の装置(実験器具のようなものと考えて下さい) M1～Mn があります。

任意の装置 Mm には以下の性質があります。

装置 Mm が R を測定した際の、測定値の誤差(R - 測定値)は、
平均 Am、分散 σm^2 の分布をとります。

このAm, σm は各装置の測定精度といえると思います。
いずれも小さいほど精度が高くなります。

装置 M1～Mn を使って R を測定する場合、
任意の装置 Mm が測定した値を Pm とすると、

ΣWm(Pm-Am),  {Wm ＝ (1/σm^2)/Σ(1/σm^2)}

が最ももっともらしい R の測定値だと思います。
（合ってるか分かりませんが、数学の得意な人に計算してもらいました）

★　★　★　★　★

さて、ここからが本題です。
実際は装置 Mm の精度 σm が厳密に分かりません。

しかし、各装置は過去に何度か R を測定したことがあり、
その時の測定誤差の結果が残っているため、σm が予測できます。

任意の装置 Mm で Cm 回測定した誤差の結果は、
平均 Am', 不偏分散 σm'^2 の分布をとっています。

この Cm がタイトルにある試行回数です。
Cm により Am',σm' をどれだけ信頼していいか変わるため困っています。

この状態で M1～Mn を使って R を測定する場合、
M1～Mn の測定値をどのように組み合わせれば、
最ももっともらしい R の測定値となるでしょうか？

また、M1 ～ Mn の間での、Am, σm の分布を考えたとき、
Am は、平均 a, 分散 o^2
σmは、平均 b, 分散 p^2 の分布をとるとします。
（実際は分からないのですが、これが無いと計算できないような気がするので仮定しておきます）

感覚的にはCm=0なら、Am=a, σm=b とみなすのが妥当で、
Cm=∞なら、Am, σm が分かっているときと変わらないと思うのですが、
その中間が Cm によりどう変わるのか分かりません。 

★　★　★　★　★

答えを求めるにあたり足りない情報などがあれば、
遠慮無く書いて下さい。

hitokotonusi · Accepted Answer

補足です。

二つの装置があり、装置1はRが小さいところで分散が小さく、装置2はRが大きいところで分散が小さいとしたら、Rが小さいときは装置1を使い、Rが大きいときは装置2を使うと信頼性が高くなるというのが自明の理です。

しかし、Rが大きいところも小さいところも一緒にして意味はないけど式に当てはめて分散を計算し、信頼性を求めたところで、Rの値によって結果が変わるという正しい結果が出ることはありません。

hitokotonusi · Answer

>過去に測定した Cm 回 は何なのかというと、
>変化する値の別のポイントを測定したものです。

>つまり、Cm 回 は全て異なる値を測定しているので、
>測定の平均値というのは出せません。

それなら無理です。
すべてのポイントで系統誤差と母分散が等しいという保証もないので、
統計処理をしても無意味です。

hitokotonusi · Answer

気が代わったので答えてみようと思います。

まず測定の誤差には系統誤差と偶然誤差があり、統計処理ができるのは偶然誤差だけなので、系統誤差分は補正しておくというのが大前提です。なので、話を簡単にするために、系統誤差分Amは補正済みとしてすべて0にします。この系統誤差の補正で不確かさが入り込んでくるようなら、その不確かさはσmに繰り込みます。

さて、最も確からしい値、つまり最確値とは何かということですが、最も確率が高くなる値ということになります。ガウス分布を仮定してこの確率を求めてみます。今の場合、n個の測定値ym（m=1,2,・・・,n）があり、母平均はすべて等しくμ、母分散はそれぞれ異なりσm^2であるとすると、m番目の測定値がymの値をとる確率P(ym)はガウス分布なので、

P(ym)～exp{ -(1/2)[(ym-μ)/σm]^2 }

したがって、n個の測定値がy1, y2, ・・・, ynという値を同時にとる確率はその積で

P(y1)P(y2)・・・・P(yn) 
～ exp{ -(1/2)[(y1-μ)/σ1]^2 }exp{ -(1/2)[(y2-μ)/σ2]^2 }・・・・exp{ -(1/2)[(yn-μ)/σn]^2 }
= exp{ -(1/2)Σm [(ym-μ)/σm]^2 }　＝　exp(-χ^2/2)

ここで、χ^2＝Σm [(ym-μ)/σm]^2 で、確率を最大にするにはこのχ^2値が最小になればいいことが分かります。母平均μは求めることができない量なので、ミューの代わりにYと置いて、χ^2を最小にするように決めたYを最確値とします。このχ^2を最小にするYを求めるためにYで微分して0とおくと

d(χ^2)/dY=d/dY (Σm [(ym-Y)/σm]^2)=Σm 2 [(ym-Y)/σm](-1/σm)
=-2 [ Σm (ym/σm^2)-Y Σm (1/σm^2) ] = 0

Y = [Σm (ym/σm^2)]/[Σk (1/σk^2)] = Σm [(1/σm^2)]/[Σk (1/σk^2)] ym
= Σm Wm ym, 　　Wm = [(1/σm^2)]/[Σk (1/σk^2)] 

これが、「数学の得意な人」が求めた結果です。
ここでのポイントは、Yがymの線形結合になっているということです。
ここのymはすべて独立で各ymの分散がσm^2なので、この場合のYの分散σY^2は

σY^2 = Σm Wm^2 σm^2 = Σm { [(1/σm^2)]/[Σk (1/σk^2)] }^2 σm^2 
= [Σm (1/σm^2)]/{ [Σk (1/σk^2)] }^2 = 1/[Σm (1/σm^2)] 

です。信頼性が高いを分散が小さいの意味だとすれば、このσY^2を最小にするものが最も信頼性が高いことになります。

さてここで、各ymは一回の測定値ではなくn回測定の平均値であることに注目します。各測定値の分散がσ^2であるときの平均値の分散はσY^2の式でσmをσに置き換えればよく、n回ならσ^2/nに等しくなります。したがって、σm^2を個々の測定値の分散であるとするとymが平均値である場合にはこれをσm^2/Cmで置き換えなければなりません。したがって、ymがCm回測定の平均値である場合のσY^2の式は

σY^2 = 1/[Σm (Cm/σm^2)] 

に修正されます。

σmですが、十分な回数の過去の測定からσmが推定できるなら、それを使います。過去の蓄積がないなら、回数に依存しなくなるまで十分な回数の測定を繰り返して求めます。少ない回数の測定から推定するなら不偏分散を使います。

ちなみに、k番目の測定値をxk、平均をXとしたとき、n回の測定で

S^2 = Σk (xk - X)^2/n　を標本分散
u^2 = Σk (xk - X)^2/(n-1) を不偏分散

とよび、母分散をσ^2としてnS^2/σ^2、および、(n-1)u^2/σ^2　は自由度n-1のχ二乗分布に従います。

系統誤差Amの不確かさがσa,m^2で表記できるとすると、生の測定値をPmとしてym = Pm - AmなのでPmの分散をσm^2としてymの分散は

σ(ym)^2 = σm^2 + σa,m^2

σa,m^2は別立てで求めておく必要があります。


と、ざっとやってみました。教科書にあるようなものではないので確認のしようがないですが、多分、間違ってはいないと思います。

まあ、書いてていやになるくらい説明不足ですが、不明分は適宜調べてください。

noname#107242 · Answer

何のため？目的は？

試行回数による信頼度の比

補足です。

>過去に測定した Cm 回 は何なのかというと、

気が代わったので答えてみようと思います。

何のため？目的は？

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

>過去に測定した Cm 回は何なのかというと、