固有値と固有ベクトルの図形的意味

質問です。
例えば行列(2,2|2,5)（←(1行目|2行目)という意味です。）の固有値λはλ＝1,6で、λ＝1に対する固有ベクトルは(－2 1)、λ＝6に対する固有ベクトルは(1 2)となりますよね。
このとき固有値と固有ベクトルの図形的意味はどういう意味なのでしょうか？大学で学んだのですがいまいち理解できませんでした。

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/03/15 01:26

まず、行列の意味を考えて見ます。

行列(2,2|2,5)にベクトル(1,1)を作用させます。すると、

(2,2|2,5)(1,1)＝（2*1+2*1｜2*1+5*1）=(4,7)

となります。もとの(1,1)と出てきた(4,7)は長さも違いますが方向も違います。このように、一般に行列にベクトルを作用させると長さと方向が異なるベクトルになります。

ここまでよろしいでしょうか？このように、行列は一般にベクトルを回転させるものであることを抑えて置いてください。

さて、こんどは固有ベクトル(－2,1)で同じことをして見ます。

(2,2|2,5)(-2,1)＝（2*(-2)+2*1｜2*(-2)+5*1）=(-2,1)

同じベクトルになりました。なので、このベクトル(-2,1)は行列を作用させても回転していません。ベクトルを定数倍しても同じ結果になりますから、(-2,1)と同じ方向のベクトルはすべて回転しないことになります。

このように、ある行列に対してベクトルを回転させない特殊な方向が固有ベクトルの向きです。

同じように、こんどは固有ベクトル(1,2)で同じことをして見ます。

(2,2|2,5)(1,2)＝（2*1+2*2｜2*1+5*2）=(6,12)= 6×(1,2)

ベクトル6×(1,2)は(1,2)と同じ方向ですから、やはりベクトルは回転していないことが分かります。ただし、その長さは6倍になっています。この倍数が固有値です。前の(-2,1)のときは同じベクトルですから1倍、これを強調して書けば1×(-2,1)で、実は、固有値が1だったということです。

これを難しく言えば、ANo.1さんが書かれている(1)、(2)になります。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/03/15 08:29

#1です。

Tacosan（#2）さん、フォローありがとうございます。
すっかり、そのことをすっ飛ばしてしまいました・・・

失礼しました。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2010/03/15 01:38

e1=(1/√5)(1,2),e2=(1/√5)(-2,1)　→　e1⊥e2,|e1|=|e2|=1

(x,y)=Xe1+Ye2　と置くと
X,Yは、(1,2)方向,(-2,1)方向に座標軸を入れたときの座標で
(x y)'=[e1 e2](X Y)'
(2,2|2,5)[e1 e2]=[1e1 6e2]=[e1 e2](1 0|0 6)
[e1 e2]'(2,2|2,5)[e1 e2]=(1 0|0 6)
2x^2+4xy+5y^2
=(x y)(2,2|2,5)(x y)'
=(X Y)[e1 e2]'(2,2|2,5)[e1 e2](X Y)'
=(X Y)(1 0|0 6)(X Y)'=1X^2+6Y^2
2x^2+4xy+5y^2=6　→　1X^2+6Y^2=6 　( 楕円 )

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/03/15 01:12

念のため #1 に勝手に補足しておくと, 「固有ベクトル同士が直交する」のは, この行列が対称だからです. もうちょっと厳密に言うと「対称行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトル同士は直交する」となります.

対称行列でない場合, あるいは対称行列でも同じ固有値に対して複数の独立な固有ベクトルが存在する場合には直交するとは限りません. もちろん, 対称行列の場合には「直交するように固有ベクトルをとる」ことはできます.

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/03/14 23:42

こんばんわ。

図形的な意味となると、1次変換の上で述べることができます。
（他にもあるかもしれませんが）

(1) 原点を通り固有ベクトルを方向ベクトルとする直線は、1次変換に対する「不動直線」となります。
1次変換しても、動かない直線ということです。

(2) (1)において固有値は、「拡大・縮小の倍率」を表します。
λ= 1のときは個々の点自身も動かないので、「不動点の集まり」となります。

(3) 固有ベクトルは、互いに直交します。
つまり、内積が 0になるということです。

(4) 逆行列をもたない行列で表される 1次変換は、「平面がつぶれる」変換になります。
つい先日、その内容で回答した質問がありますので、参考URLとして載せます。（長文になりますので）

参考URL：http://sqa.scienceportal.jp/qa5696365.html