ベクトルと軌跡 青チャート

座標平面において、△ABCはBA→・CA→＝０を満たしている。この平面上の
点Pが条件AP→・BP→＋BP→・CP→＋CP→・AP→＝０を満たすとき、Ｐはどのような
図形上の点であるか。

解答では始点をAにそろえて整理しています。
自分の分からないところだけ書きます（計算量がはんぱないため）と、
「～、ゆえに3|AP→|^2-2（AB→＋AC→）・AP→＝０
ここで、【辺BCの中点をMとすると、AB→＋AC→＝2AM→】
よって、3|AP→|^2-4AM→・AP→＝０から
|AP→|^2 -4/3AM→・AP→＝０
ゆえに|AP→|^2 -4/3AM→・AP→＋4/9|AM→|＝4/9|AM→|^2
よって、|AP→-2/3AM→|^2=|2/3AM→|^2
よって、辺BCの中点をＭとすると、点Pは線分AMを２：１にない分する点を中心とし、半径が2/3AMの円周上の点である。」

解答にある、【辺BCの中点をMとすると、AB→＋AC→＝2AM→】
ここがわかりません。なんでBCの中点をＭとするんですか？また
勝手にこんな定義をしても大丈夫なのでしょうか？
ほんとわからなくて困っています。
誰か分かる方教えてください。おねがいします。

No.2 回答者： lialhyd 回答日時： 2010/03/16 01:29

BCの中点をMとするのは、図形をわかりやすく説明するため。

円の中心が、元の三角形の周上などにないので、自分で何か目印をつけてあげなければ説明することが不可能なのです。

関連質問もちょっと拝見したのですが
青チャートを使っている理由は何ですか？
質問者様の理解度だと、白あたりのほうが解説が丁寧なのであっているのではないかな、と思います。
ベクトルとスカラーの違いからまだあいまいなようですので
もし特に青である必要がないのであれば、白の解説等も一度読んでみてはいかがでしょうか。
質問に直接関係ある回答でなくてすみません。

No.1 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/03/15 20:49

点Ａを位置ベクトルの原点にし、ベクトルの矢印を省略します。

AB=a,　AC=c　とすると、

AP・BP+BP・CP+CP・AP=0より
p・(p-b)+(p-b)・(p-c)+(p-c)・p=0
3p・p-2p(b+c)=0
p・p-2p・(b+c)/3=0

ここで、(b+c)/3=g　とおくと、g　は△ABCの重心。

P・P-2p・g=0
(p-g)・(p-g)=g・g
|p-g|^2=|g|^2

したがって、点Pは、gを中心とし、半径|g|の円周上の点。

>ここがわかりません。なんでBCの中点をＭとするんですか？
重心の位置を表現するために持ちだしています。