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(cos3x)'
=-sin3x・(3x)'
=-3sin3x

となりますが、なぜ
>=-sin3x・(3x)'
のようになるのかがよくわかりません。
教科書には(sinx)'=cosx(公式として)とでていたので、
答えは-sin3xかと思ったのですが、ちがうようです。

数学がお得意のかた、よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

stripeさん、こんばんは。



まず、(cos3x)'というのは、y=cos3xとおくと
yをxで微分した、ということですよね。
これは、dy/dx とかきますよね。

ここで、3x=tと置いてみましょう。
yをxで微分したものdy/dxを求めたいのですが、
y=cost
とおいたので、yをtで微分したものは、
dy/dt=-sint
ですよね。
でも、求めたいものは、dy/dxです。

ですから、dy/dxに直せばいいのです。
dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・(☆)
とするといいですね。

ところで、3x=tとおいたので、
dt/dx=3です。
これを(☆)に代入すればいいのです。

以上のことから、
dy/dx=dy/dt*dt/dx=-sint*3
=-sin(3x)*3
=-3sin3x
ということが分かると思います。

この回答への補足

ご回答どうもありがとうございます!

>dy/dxに直せばいいのです。
これはそのとおりだーと思ったのですが、
>dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・(☆)
なぜこのような式が成り立つかがよくわかりません・・。
たしかdy/dxというのは分数ではないんですよね?
分数みたいにみると成り立ってるなーって思うんですが(..
よかったら教えて下さいm(__)m

補足日時:2003/06/18 18:03
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stripeさん、こんばんは。


#1fushigichanです。お礼ありがとうございます。

>>dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・(☆)
>なぜこのような式が成り立つかがよくわかりません・・。
たしかdy/dxというのは分数ではないんですよね?

う~ん・・鋭いですね・・
これは、確かに分数ではありませんね。一見分数みたいですが・・

これは、公式として覚えておいたらいい式なんですが、
どうしてそうなるのか?というと、やはり定義にもどったほうがよさそうです。
ちょっと考えてみましょう。

まず、yはtの関数であって、tはまたxの関数になっているので

y=f(t)
t=g(x)
のように置くことができますよね。

さて、今xを、少し増やしてx+Δxとします。
x→x+Δx
これに対して、
t→t+Δt
y→y+Δy
となるはずですが、それぞれの増分を

Δt=g(x+Δx)-g(x)
Δy=f(t+Δt)-f(t)

とおくことができるので、
Δy/Δx=(Δy/Δt)*(Δt/Δx) ←これは、分数です。
ただ単に、ΔyをΔxで割ったものは、
ΔyをΔtで割ったものに、ΔtをΔxで割ったものをかけたものになっています。

このとき、Δx→0としたときの極限を考えると、
lim Δy/Δx=limΔy/Δt*limΔt/Δx
Δx→0   Δt→0   Δx→0

であるから、
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)

という公式が成り立つのです。
xの増分を限りなく小さくしていったときに、
tの増分と、yの増分も小さくなっていくことがポイントです。

なお、厳密に言えば、Δx≠0,Δt≠0が必要になってくるのですが
ここでは、ややこしくなりますから、上の方法を理解してください。

もし、ごちゃごちゃしてきて理解しにくかったら
今のところは、これを公式として覚えてしまってください。
微分の問題を解いていくうちに、あとから理解がついてくるものと思います。
頑張ってください!!
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!

説明していただいたおかげでなんで何とかわかりまた~(^^)

>微分の問題を解いていくうちに、あとから理解がついてくるものと思います。
まだまだよくわからない公式や考えかたがたくさんあるんですが、とりあえずがんばってやってみようと思います(
^^)

ほんとうにありがとうございました!

お礼日時:2003/06/19 17:41

「関数f(x)」というのは誤りであり、正確にはfが関数で、


f(x) は関数fのxにおける値であることに注意して読んで下さい。

問題の「(cos(3x))' を求めよ」とは、普通、
「xの関数 cos(3x) の導関数を求めよ」
「θの関数 cos(3θ) の導関数の θ=x における値を求めよ」
という意味です。
公式 (cosx)'=-sinx は、
「θの関数 cosθ の導関数の θ=x における値は -sinx に等しい」
と言っています。
従って、この公式の x に 3x をあてはめるのは、
「θの関数 cosθ の導関数の θ=3x における値を求めた」
ことになります。

これを、簡単に書くと
公式は (cos)'(x)=-sinx であり、
問題のは (cos3)'(x)=-3sin(3x) です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます!
あんまりよくわかってないんですが、

>「θの関数 cosθ の導関数の θ=3x における値を求めた」
というのは、簡単にいうとどういうことなのでしょうか?
あんまりよくわかってないんです(泣
よかったら教えて下さい!

お礼日時:2003/06/18 18:14

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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む


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