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環状ガウス鎖の<S^2>(回転二乗半径)が自由連結鎖の<S^2>の半分になる理由を説明せよ。

という問題が出ました。

イメージできそうでできません↓↓


よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

<環状ガウス鎖の<S^2>(回転二乗半径)が自由連結鎖の


<S^2>「より小さく成る」理由を説明せよ。
上の様な質問なら、両端が結ばれているために鎖がコンパクトになる
から、で良いのでしょうが、「半分になる」理由と聞かれると
「計算結果がそうなるから」としか答えようが有りません。

自由連結鎖の<S^2>の計算と環状ガウス鎖<Sr^2>の導出をして
みたので、<Sr^2>の導出の前提からヒントを得てください。

分子鎖がn個のセグメントBiよりなり、セグメントBiと重心を結ぶ
ベクトルをSi-1とするとΣSi=0。 (和はi = 0~n)
平均回転半径は〈S^2〉= Σ〈Si^2〉/(n+1)。 (和はi = 0~n)  (1)

セグメントBiとBjを結ぶベクトルをRijとすると、
Rij^2 = Si^2 + Sj^2 - 2Si*Sj                (2)

ΣΣRij^2 =ΣΣ(Si^2 + Sj^2 -2Si*Sj) (和はそれぞれi,j= 0~n)
= 2(n+1)ΣSi^2 - 2(ΣSi) (ΣSj)              (3)

ΣSi=0 なので、(3)式の平均は
ΣΣ〈Rij^2〉 = 2(n+1)Σ〈Si^2 〉             (4)
(1)と(4)より、
〈S^2〉=ΣΣ〈Rij^2〉/(2(n+1)^2) (和はそれぞれi,j= 0~n) (5)

i=j の時はRij=0 となるので、ΣΣは2ΣΣ (和はi=0~n, j=0~i-1)
で置き換えられる。
自由な鎖(ガウス鎖)では平均2乗両端間距離〈r^2〉= nb^2 である
から、〈Rij^2〉= |i-j|b^2 と置くと
〈S^2〉= 2ΣΣ(i-j)b^2/(2(n+1)^2)      (6)    
(和はi,j=0~nからi=0~n, j=0~i-1に変更)

まずj、次いでiの和を取り級数を計算し、n>>1 として、1,1/n…の
オーダの項を無視すると
〈S^2〉= nb^2/6                 (7)
となり、両端が自由な鎖の 1/6 となっている。

環状鎖に付いての概算のために、セグメントBiの数を2nとし、
鎖はnを境として対称と考え i の和を0~n で取り、それを2倍する。
更に、Rijはガウス鎖近似で良いとすれば、
環状鎖の平均回転半径〈Sr^2〉は
〈Sr^2〉=4ΣΣ(i-j)b^2/(2(2n+1)^2) (和はi=0~n, j=0~i-1)

これを両端が自由な鎖の場合と同様に計算し、
n>>1 として、1,1/n…のオーダの項をnに対し無視すると
〈Sr^2〉= nb^2/12 

つまり〈Sr^2〉は 〈S^2〉の半分となる。
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