No.2
- 回答日時:
#1さんが数学的なお叱りの言葉を書いていたので、
カテ違いですが私は物理的なモノの見方でも・・・
フーリエ変換をイメージするとき
私がイメージするのは不確定性原理です。
フーリエ変換で結ばれた2つの変数については
不確定性原理が成り立つので
?t?ω≧1/2
となります。ということは、
tの曖昧さをどんどん小さくしていくと
ωの曖昧さはどんどん膨らんでいきます。
つまり、tの曖昧さがデルタ関数程度になれば
ωの曖昧さは無限大に発散するので、
全ての周波数を含んでいる・・・
といった感じで私はイメージしています。
もし短時間フーリエ変換という解析法をご存知なら
想像するのはより容易かと思います。
まあ、実はこの説明は逆コースなんですが・・・
でも頭で想像するときには多少役立つかもしれません。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
逆のほうが考えやすいので、
∫δ(ω)*exp(iωt)dt=1
これだとδ(ω)はω=0だけで値を持つという事なので、直流成分。
つまり時間によらず値が一定。(2πは省略)
さて、フーリエ変換は
F(ω) = ∫f(t) exp(-iωt)dt
わかりをよくするために和で書き直してみると
F(ω) = Σ f(ti) exp(-i(ti)ω) Δt
= f(t0) exp(-i(t0)ω) Δt+f(t1) exp(-i(t1)ω) Δt+・・・
こうしてみると、フーリエ変換はexp(-i(ti)ω)という指数関数、つまりは、cos((ti)ω), sin((ti)ω)という三角関数の重ね合わせとして表現することになるわけです。
さて、この場合、ωの関数と見たときのtiの役割はなんでしょうか?
もうおわかりと思いますが、ω空間になると時間と周波数の役割が入れ代わります。
したがって、ω空間での三角関数は時間tの値によってその山から山までの間隔(ω空間での周期)が決まります。
以上を踏まえると、
∫δ(t)*exp(-iωt)dt=1
のδ(t)はt=0だけで値を持つ間数なので、ω空間での直流成分を表します。
つまり全てのωで値が一定。これは、すべての振動数成分の振幅が等しいということです。
これを実空間で解釈し直せば、
t=0のみで値を持つ関数では、すべての振動数成分が等しい重みで重ね合わされている
となります。これは逆変換
δ(t) = ∫1・exp(iωt)dω (意味を明確にするため、2πを省略)
を考えれば意味がわかると思います。
和の形にすれば、さらにわかりやすいかもしれません。
δ(t) = Σi 1・exp(i(ωi)t)Δω
= 1・exp(i(ω0)t)Δω+1・exp(i(ω1)t)Δω+・・・
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