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こんにちは
読んでくださってるかたありがとうございます

今確率をやっていますが、
答えがまったく出せません

問題
6個の数字0,1,2,3,4,5から異なる4個の数字を選んで,4桁の数をつくるとき,次の問いに答えなさい。
3の倍数は何通りできますか。


教えてください
お願いします

A 回答 (10件)

先ほどの私の誤りを再度訂正します。



6個の数字0,1,2,3,4,5から異なる4個の数字を選び、それを
a_1,a_2,a_3,a_4 として
4個の数字の和 s=a_1+a_2+a_3+a_4 とすると
4桁の数 a は 
a=a_1*1000+a_2*100+a_3*10+a_4=3*3(a_1*111+a_2*11+a_3)+s
a-s=3*3(a_1*111+a_2*11+a_3) となるから
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となるときだけに 4桁の数 a が 3の倍数 となる
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となる場合
3+2+1+0=6≦s≦5+4+3+0=12
だから
s=6 または s=9 または s=12 の 3通りだけとなる
s=6 の場合 3+2+1+0=6
s=9 の場合 4+3+2+0=5+3+1+0=9
s=12 の場合 5+4+2+1=5+4+3+0=12
(3,2,1,0) , (4,3,2,0) , (5,3,1,0) , (5,4,3,0) の 4通りそれぞれについて
a_1≠0 の3通り a_2≠a_1 の3通り a_3≠a_i の2通り
4*3*3*2=72通り
(5,4,2,1) の場合 4*3*2=24通り
合計 72+24=96 通り
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先程の私の誤りを訂正します



6個の数字0,1,2,3,4,5から異なる4個の数字を選び、それを
a_1,a_2,a_3,a_4 として
4個の数字の和 s=a_1+a_2+a_3+a_4 とすると
4桁の数 a は 
a=a_1*1000+a_2*100+a_3*10+a_4=3*(a_1*111+a_2*11+a_3)+s
a-s=3*(a_1*111+a_2*11+a_3)
となるから
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となるときだけに 4桁の数 a が 3の倍数 となる
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となる場合
3+2+1+0=6≦s≦5+4+3+0=12
だから
s=6 または s=9 または s=12 の 3通りだけとなる
s=6 の場合 3+2+1+0=6
s=9 の場合 4+3+2+0=5+3+1+0=9
s=12 の場合 5+4+2+1=5+4+3+0=12
(3,2,1,0) , (4,3,2,0) , (5,3,1,0) , (5,4,3,0) の 4通りそれぞれについて
a_1≠0 の3通り a_2≠a_1 の3通り a_3≠a_i の2通り
4*3*3*2=72通り
(5,4,2,1) の場合 4*3*2=24
合計 72+24=96 通り
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6個の数字0,1,2,3,4,5から異なる4個の数字を選び、それを


a_1,a_2,a_3,a_4 として
4個の数字の和 s=a_1+a_2+a_3+a_4 とすると
4桁の数 a は 
a=a_1*1000+a_2*100+a_3*10+a_4=3*(a_1*111+a_2*11+a_3)+s
a-s=3*(a_1*111+a_2*11+a_3) となるから
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となるときだけに 4桁の数 a が 3の倍数 となる
4個の数字の和 s が 3 の倍数 となる場合
3+2+1+0=6≦s≦5+4+3+0=12
だから
s=6 または s=9 または s=12 の 3通りだけとなる
s=6 の場合 3+2+1+0=6
s=9 の場合 4+3+2+0=5+3+1+0=9
s=12 の場合 5+4+2+1=5+4+3+0=12
(3,2,1,0) , (4,3,2,0) , (5,3,1,0) , (5,4,3,0) の 4通りそれぞれについて
a_1≠0 の3通り a_2≠a_1 の3通り a_3≠a_i の2通り
4*3*3*2=48通り
(5,4,2,1) の場合 4*3*2=24
合計 48+24=72 通り
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そういう訳で



a+b+c+dが3の倍数であれば、abcdの4桁の数字は3の倍数 …(1)

abcdの4桁の数字が3の倍数であれば、a~dの順番を入れ替えても3の倍数 …(2)

abcdの4桁の数字の順番を入れ替えて作れる4桁の数字の組み合わせは24通り …(3)

0、1、2,3、4、5の6つの数字から4個を取り出し、その合計が3の倍数になるのは5通り …(4)

上記(1)~(4)より、3の倍数になる組み合わせは24×5で120通り

と言う事になります。

この回答への補足

そこから
24引きますよね?
(頭に0がきた分)

だから、120-24=96


ではないのですか?

補足日時:2010/04/02 16:20
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『4桁の数「abcd」が3の倍数であれば「a+b+c+d」も3の倍数』になる理由。



2桁の数「ab」は「a×10+b」です。

「a×10+b」と「a+b」の差は、常に「9a」になります。「a×10+b-(a+b)=a×10+b-a-b=a×10-a+b-b=a×10-a=9a」ですから。

「9a」は「3×3a」ですから「3の倍数」です。

「3の倍数から、3の倍数だけ離れた数(言い換えれば、3の倍数から、3の倍数を引いた数)は、3の倍数」ですので、結論として『2桁の数「ab」が3の倍数であれば「a+b」も3の倍数』になります。

これは、3桁でも4桁でも同じです。

また、2桁の数「ab」と、2桁の数「ba」の関係も「a+b=b+a」と言う法則により「片方が3の倍数なら、もう片方も3の倍数」である事が自明です。

これも、3桁でも4桁でも同じです。
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この回答へのお礼

理由をわかりやすく、教えてくださり
ありがとうございます

ここまで詳しく知ることができて
もっと納得しました

感謝します

お礼日時:2010/04/02 15:59

因みに、0123とか0321とか、頭に0が来る場合を「4桁の数字から除外」すると24個減ります。

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この回答へのお礼

わざわざご丁寧にありがとうございます

お礼日時:2010/04/02 15:39

4個の数字を取り出し、4つの数字を並べて3の倍数になるのは


0,1,2,3
0,1,3,5
0,2,3,4
0,3,4,5
1,2,4,5
の5種類だけです。

4桁の数「abcd」が3の倍数であれば「a+b+c+d」も3の倍数ですから、探すのは簡単です。

4つの数字を並び替えて出来る数字の組み合わせは「4×3×2×1組み」ですから、それを5倍した組み合わせがあります。
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この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございました

あと、確率と順列を間違ってしまい
すみませんでした

お礼日時:2010/04/02 15:27

それって順列の問題では?

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この回答へのお礼

すみません、おっしゃる通りです 涙

お礼日時:2010/04/02 15:18

うう, 問題が微妙だ....


とはいえ, こんなのはしょせん「全部列挙してその中から適切な物を見つける」だけなので, 「全く出せない」ということはないはずですよ.
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この回答へのお礼

はい、がんばらせていただきます

お礼日時:2010/04/02 15:17

いいことを教えましょう。



確率の問題ではありません。
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この回答へのお礼

すみません、、、

お礼日時:2010/04/02 15:15

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