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数2の問題(複素数と方程式の範囲)を教えてください。

整式h(x)をx+2で割ると余りは2であり、h(x)をx^2-2x+4で割ると余りは4x-2である。h(x)をx^3+8で割ったときの余りを求めよ。

という問題です。

h(x)をx^3+8で割ったときの商をr(x)、余りをax^2+bx+cとおくと
 h(x)=(x^3+8)
   =(x+2)(x^2-2x+4)r(x)+
と表せて、h(x)をx+2で割ったときの余りが2であるから、
 h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2

というところまではやってみましたが、
ここからどうすればよいかわかりません。

解法と解説をよろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

「h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2」がおかしいことには気づいてますか?


さておき, 「h(x) を x^2-2x+4 で割った余り」と「ax^2+bx+c を x^2-2x+4 で割った余り」が等しくなければならない.
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この回答へのお礼

>「h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2」

h(-2)=2⇔4a-2b+c=2

でした(汗)重ね重ね失礼しました。

教えていただいたやり方で一応答えは出ました。

上の私の解答の続きは、


h(x) を x^2-2x+4 で割った余りと
ax^2+bx+c を x^2-2x+4 で割った余りは等しくならなければならない。

 (ax^2+bx+c)/(x^2-2x+4)=(b+2a)x+(c-4a)=4x-2
よって
 b+2a=4
 c-4a=-2

 4a-2b+c=2
を連立させて解くと 
 a=1,b=2,c=2
したがって求める余りは
 x^2+2x+2 (答)

となりました。
これで解答として大丈夫でしょうか?

お礼日時:2010/04/03 07:47

答えはいいけど, 途中の


「(ax^2+bx+c)/(x^2-2x+4)=(b+2a)x+(c-4a)=4x-2」
はダメ. もっと気を付けないと.
ここは前の分と合わせて
h(x) = (x+2)(x^2-2x+4)r(x) + (ax^2+bx+c)
=(x^2-2x+4)[(x+2)r(x) + a] + [(b+2a)x+(c-4a)]
と書いてやるのがより安全.
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この回答へのお礼

なるほど。
そのように書くものなのですね。
添削どうもありがとうございます!
また、よろしくお願いします。

お礼日時:2010/04/04 21:43

#1 と同案というか, それを使わないとお話にならない.


あと, 式はちゃんと書いてくださいね. このままだと「まともな解答」としては認めてもらえませんよ.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>h(x)=(x^3+8)
   =(x+2)(x^2-2x+4)r(x)+
と表せて、h(x)をx+2で割ったときの余りが2であるから、
 h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2

の途中、ax^2+bx+cをコピペしたつもりが切り取ってしまっていました。
どうも失礼しました(笑)
解答欄には、抜かさずに記入します。


>#1 と同案というか, それを使わないとお話にならない

そう思ったのですが
その使い方で悩んでしまったのでこちらに質問したのです。
模範的な解答の作り方を教えてください。

お礼日時:2010/04/02 16:59

>ここからどうすればよいかわかりません。



当然、次は「h(x)をx^2-2x+4で割ると余りは4x-2である」を使いましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
そのように思ったのですが、それをどのように使えばよいかわからないので
こちらに質問してみました。
よろしければどのように使うかご教授ください。

お礼日時:2010/04/02 16:47

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