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数2の問題(複素数と方程式の範囲)を教えてください。


aを実数の定数とする。方程式
 (x^2-2x)^2-2(a+2)(x^2-2x)+4a+20=0 ・・・・・(1)
について、次の各問に答えよ。

1.tを実数の定数とする。2次方程式x^2-2x=tが異なる2つの実数解をもつとき、
 tのとり得る値の範囲を求めよ。
2.方程式(1)が異なる4つの実数解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。
3.方程式(1)が実数解をもたないとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。

という問題です。

1.は

 x^2-2x=t ⇔ x^2-2x-t=0
より、この方程式の判別式をDとすると
 D/4=1+t
であり、異なる2つの実数解をもつのは、D>0のときであるから
 1+t>0 ⇔ t>-1 (答)

としてみましたが、これでいいのか自信ありません。
2.、3.はどうしたらよいかわかりません。
解法と解説をよろしくお願いします。

A 回答 (7件)

#5です。



>-25/6<a<-4,a>4 (答)
>となりました。これで大丈夫でしょうか?

違います。
a+3>√(a^2-16) が成立するためには、a+3>0という条件も必要です。
よって、答えは、a>4 だけです。

#6さんの解法のように、軸>-1、f(-1)>0で求める方が簡単でしたね。失敬。


ついでに、#6さんへのお礼欄の解答についても。

[2]の結論がa=4となっていますが、a=-4です。(単なるタイプミスですか)
[3]は、「D>0かつ・・・」ですから、-25/6<a<-4です。
[1],[2],[3]をまとめると、-25/6<a<4
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この回答へのお礼

違ってましたか(汗)
条件を整理できてないですね。
まだよく見渡せないです。

チェックしていただいて助かりました。
どうもありがとうございます。

またよろしくお願いします!

お礼日時:2010/04/06 11:11

3. 具体的に。



A No.4
↓↑
(2)の判別式<0、
または
{ (2)の判別式=0 かつ
(2)の軸<-1 }、
または
{ (2)の判別式>0 かつ (2)の軸<-1 かつ f(-1)>0 }。
ただし、f(t)=t~2-2(a+2)t+(4a+20)。

f(t) の「判別式」と「軸」は、わかりますね?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

解答
方程式(1)が実数解を持たないとき、方程式(2)は-1以上の解をもたず、
[1]実数解をもたないか、[2]-1未満の重解をもつ、
または[3]-1未満に2つの異なる解をもつことになる。

[1](2)が実数解をもたないのは、(2)の判別式D<0のときであるから
 D/4=a^2-16=(a+4)(a-4)<0 ∴-4<a<4
[2](2)が-1未満に重解をもつのは、f(t)=t^2-2(a+2)+(4a+20)とおいたとき
f(t)の軸が-1より小のとき、かつ、D=0のときであるので
 f(t)=t^2-2(a+2)t+(4a+20)
   =[t-(a+2)]^2-a^2+16
より、軸はt=a+2
 ∴a+2<-1 ∴a<-3
かつ
 D=0⇔(a+4)(a-4)=0 ∴a=-4.4
よって 
 a=4
[3](2)が-1未満に2つの異なる解をもつのは、
D>0、かつ、(2)の軸が-1より小、かつ、f(-1)>0のときであり、 
 D>0⇔a<-4,a>4
 a+2<-1 ∴a<-3
 f(-1)=1+2a+4+4a+20
    =6a+25>0 ∴a>-25/6
よって、-25/6<a<-3,a>4

以上、[1],[2],[3]より、aのとり得る値の範囲は
 -25/6<a<4,a>4 (答)

で大丈夫でしょうか?
チェックしていただけるとうれしいです。

お礼日時:2010/04/06 08:29

>具体的にはどのようにすればいいのでしょうか?



1.ができるなら、2.、3.もできるでしょ。

t^2-2(a+2)t+4a+20=0 が-1より大きい2つの異なる実数解をもつためには、
判別式>0 と t=a+2±√((a+2)^2-(4a+20))>-1 とから、aの範囲を定めます。
±とありますが、小さいほうだけ調べればいいので、-だけで充分です。

3.も同様です。

あとは、ご自分で。
以上
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
解答を作ってみました。

x^2-2x=tとおくと、方程式(1)は
 t^2-2(a+2)t+4a+20=0 ・・・・・(2)
と表せる。方程式(1)が異なる4つの実数解をもつとき、
方程式(2)は-1より大きい2つの異なる実数解をもつので、
(2)の判別式をDとおくと
 D/4=(a+2)^2-4a-20
   =a^2-16=(a+4)(a-4)
(2)が異なる2つの実数解をもつのはD>0のときだから
 (a+4)(a-4)>0 ∴a<-4,a>4 (ア)
また、t>-1より
 t=a+2±√((a+2)^2-(4a+20))>-1
 ⇔a+2-√(a^2-16)>-1
 ⇔a+3>√(a^2-16)
 ⇔a^2+6a+9>a^2-16 (∵a^2-16>0)
 ⇔6a>-25 ∴a>-25/6 (イ)
(ア)(イ)より、求めるaの値の範囲は
 -25/6<a<-4,a>4 (答)


となりました。これで大丈夫でしょうか?
違っていたら、ご指摘くださるとうれしいです。

お礼日時:2010/04/06 07:53

(1)は実数解を持たない。


↓↑
(2)は -1 以上の解を持たない。
↓↑
(2)は実数解を持たないか、
または、-1 未満にのみ解を持つ。
↓↑
(2)は実数解を持たないか、
または、-1 未満に二つの異なる解か重解かを持つ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2010/04/03 08:06

#2です。

訂正

方程式(1)は実数解をもたない
↓↑
方程式(2)は実数解をもたない、または、-1より小さい2つの実数解をもつ
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1.は合ってます。



2.、3.は、t=x^2-2xと置けば、
 t^2-2(a+2)t+4a+20=0 ・・・・・(2)


方程式(1)は異なる4つの実数解をもつ
↓↑
方程式(2)は -1より大きい2つの異なる実数解をもつ


方程式(1)は実数解をもたない
↓↑
方程式(2)は実数解をもたない、または、-1以下の2つの実数解をもつ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

具体的にはどのようにすればいいのでしょうか?
できれば模範解答と解説をお願いします。

お礼日時:2010/04/03 08:04

1 に出てくる「x^2-2x=t」の左辺が (1)式で特徴的に現れることに気づけば, 「(1)式を t に関する 2次方程式と思っ

てくれ」という問題製作者の意図が読み取れるかも.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>「(1)式を t に関する 2次方程式と思ってくれ」という問題製作者の意図が読み取れるかも.

それは読み取れたのですが、
その2次方程式を具体的にどう処理するかを知りたいので
こちらに質問しました。

よろしければ、模範解答を見せていただけるとうれしいです。

お礼日時:2010/04/03 08:02

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