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底辺BC=12、高さAH=10の鋭角三角形ABCに長方形PQRSが内接している。
PQ=x として、長方形PQRSの面積を最大にするxの値を求めよ。

という問題なのですが、長方形の横の長さであるSPをあらわすやり方がいまいちよくわかりません。相似を使って出すような気はするのですが・・・
どのようにあらわせばよいのでしょうか。そうすれば解けると思いますので、教えてください。

「一次関数の問題です(図形絡み)」の質問画像

A 回答 (3件)

△SPB∽△AHBより


 SP/AH=SB/AB
=(AB-AS)/AB=1-AS/AB
 ∴SP/10=1-AS/AB …(1)

△ASR∽△ABCより
 AS/AB=SR/BC
=PQ/BC=x/12 …(2)
(1)、(2)より
 SP/10=1-x/12
∴SP=10-(10/12)x=10-(5/6)x=5(12-x)/6

これでSPが出ましたね。

□PQRSの面積Sは
 S=PQ*SP=5x(12-x)/6=30-(5/6)(x-6)^2≦30(等号x=6の時)
なので正方形の時最大ということですね。
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この回答へのお礼

教えてもらったやり方でやると、すっきり納得がいくように解けました。
ありがとうございます。

お礼日時:2010/04/05 13:50

x = 12 のとき SP = 0


x = 0 のとき SP = 10

以上より
SP = 10(12 - x)/12
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まず、BC=12 PQ=x から、BP=(12-x)/2



AH:HB=SP:PB=10:6=5:3

∴ SP=(12-x)/2 * 5/3 = 5(12-x)/6

この回答への補足

すみません、タイトルが間違ってました。2次関数の問題でした。


少し気になったのですが、BPを(12-x)/2といきなり置いているのは、
△BSP≡△CRQとなるから、ということでしょうか。(直角三角形で、斜辺と他の一辺の長さが・・・という理由で)

あと、SP:PB=10:6となる部分だけちょっと分からないのですが、
そこはどのような理由でその値になるのですか?もしよろしければ教えてください。

補足日時:2010/04/03 09:36
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