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群数列

簡単な問題で申し訳ないのですが、わからないので質問します。


2から順に正の偶数を並べて、下のように1個,3個,5個……となるように群にわけ、順に第1群,2群……とする。このとき次の問いに答えよ。

(1)第n群の最初の数と最後の数を求めよ。


以下私の解答になります。
群の中身:2k-1コ
もとの数列:2n

n-1群までの総数
[k=1]Σ[n-1](2k-1)=(n-1)^2

よってn群の最初の項は
(n-1)^2+1

したがって最初の数は
2{(n-1)^2+1}=2n^2-4n+4


ここまでは出来たのですが、末項の出し方がわかりません。

模範解答には『(n-1)^2』より2n^2となっているんですが…
何故こうなるのでしょうか?

教えていただけないでしょうか。

※以下答えてくれなくてもいいです。

それと、解答の最初の方の『群の中身:2k-1コ,もとの数列:2n』のことなんですが、私はなんだかあまりしっくりこないんです。『もとの数列』ってなんだか…みなさんはどのように書いてましたか?

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A 回答 (2件)

#1です。



>[k=1]Σ[n](2k-1)=2・1/2・n(n+1)-nとなり、最終的にはn^2です。
この式では、末項の「何を」求めていますか?
問われているのは、末項に現れる「数」ですね。
「もとの数列」ということを考えてみてください。

群数列の問題は、何を求めているのかわからなくなることが多いです。
今まででもいくつかそのような質問があった記憶もあります。
「自分を見失わないように」注意が必要です。
計算を書く前に、「これは何について計算しているのか」を言葉で書いたりした方がよいと思います。
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この回答へのお礼

あ…!!
[k=1]Σ[n](2k-1)で出てくる数は末項の「項数」であって「最後の数」じゃないですね。

2度もお手数を煩わせてしまい申し訳ありませんでした。


いつも、あまり慣れていない単元や不得意な単元の計算で「今何を計算しているのか」「何でこの計算をしているのか」を見失いがちなので、頭で整理がつけられるようになるまでは書くようにしようと思います。

おかげさまでとてもスッキリできました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/03 14:29

こんにちわ。



>ここまでは出来たのですが、末項の出し方がわかりません。
よく見ると、ほぼ答えが出てますよ。
第(n- 1)群の末項までの項数は計算できていますよね。
同様にすれば・・・

>もとの数列:2n
確かにしっくりこないですね。
少し長くなりますが、
「初めの項から n番目となる数は、2nと表される。」
とでもした方がわかりよいかもしれませんね。

この回答への補足

まずはお礼を、回答ありがとうございます。


同様にというと[k=1]Σ[n](2k-1)ということでしょうか?

もしそうなら、私の計算ミスで無いかぎりそれは違う答えになってしまうのです。
[k=1]Σ[n](2k-1)=2・1/2・n(n+1)-nとなり、最終的にはn^2です。

…どうすればいいでしょうか?


もう一つの質問についても回答ありがとうございました。参考になります。

補足日時:2010/04/03 12:50
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Q群数列の問題です。

自然数を図のように並べるとき、一番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ。

1361015
25914
4813
712
11
が図です。全角は一桁、半角二つのは二桁です。

(1)一番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ。
A.1/2・n・(n+1)これはわかりました。

(2)500は、左から何番目、上から何段目にあるか。
500が郡数列1)2,3)4,5,6)・・・の第32群、第4項であり、左から4番目というところまではわかったのですが、上から何段目になるのかが、よくわかりません。
答えは29なのですが。

(3)左からn番目、上からm番目の数をnとmの式で表せ。
この問題は手が着きません・・。

(2)と(3)の解説をお願いしたいのですが、
皆さまよろしくおねがいしますm(__)m

Aベストアンサー

さらに一般的にした問題ですね・・・(^_^)/

(2)
n=31のときAn=31・32/2=496なのでたしかに500は次の第32群の第4項です。
で、497,498,499,500と一番左の、上から32番目から斜めに並んでいくわけです。
1 3 6 ・・・ 496   
2 5

7     
・     500←上から29番目
・   499
・ 498
497←上から32番目
ね、上から29番目でしょ(-_-)ウーム

(3)
この書き込みではちょっと説明しにくいのですが、

            n番目
             ↓
     1 3 6 ・ ・
     2     ・
     4     ・
 m番目→・ ・ ・ ・ Amn
 n番目→・
     ・
m+n-1・
   番目

Amnは第m+n-1群の第n項になります。
この図だとなんだかわからないですが、具体的な数で確かめてください。(^_^;)

すると、
Amn=(第m+n-2群の最後の数)+n
=(m+n-2)(m+n-1)/2 +n
=((m+n)^2-3m-n+2)/2
と、なります。
なんかすごい式ですが、あってます/(-_-)ヽ

説明不足を承知で、いかがでしょうか?

さらに一般的にした問題ですね・・・(^_^)/

(2)
n=31のときAn=31・32/2=496なのでたしかに500は次の第32群の第4項です。
で、497,498,499,500と一番左の、上から32番目から斜めに並んでいくわけです。
1 3 6 ・・・ 496   
2 5

7     
・     500←上から29番目
・   499
・ 498
497←上から32番目
ね、上から29番目でしょ(-_-)ウーム

(3)
この書き込みではちょっと説明しにくいのですが、

            n番目
             ↓
 ...続きを読む

Q群数列の和

下の表は自然数をある規則にしたがって、右方および下方に限りなく並べたものである。

1 1 1 1 1 1……
1 2 3 4 5 6……
1 3 5 7 9 11……
1 4 7 10 13 16 
1 5 9 13 17 21
1 6 11 16 21 26
1 : :
1 : :

上からm番目にある数をN(m、n)とする
|1,1|1,2,1|1,3,3,1|1,4,5,4,1|…と表のN(k、1)からN(1、k)まで斜めの群をとるとき、第k群の和は何でしょうか

ちなみに答えは
1/6k(k^2-3k+8)
※k^2 とはkの二乗です

Aベストアンサー

第k群の和をa(k)とする
a(k) =a(k-1)+(k-1)(k-2)/2+1……(1)
a(k-1)=a(k-2)+(k-2)(k-3)/2+1
a(k-2)=a(k-3)+(k-3)(k-4)/2+1
 ・
 ・
 ・
a(2) =a(1) +(2-1)(2-2)/2+1
+)a(1) = (1-1)(1-2)/2+1
--------------------------------
a(k) = Σ((k-1)(k-2)/2)+k
これを解くと
a(k)=k(k^2-3k+8)/6

(1)式は第k-1群と第k群の1列目,2列目…の差を取ってみるとわかります。

Q群数列教えてください

群数列 |1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|21,・・・ において
(1)第n群の最初の数をnを用いて表せ
(2)第n群に含まれる数の和を求めよ
(3)351は第何群の何番目の数か

群数列 |1|1,2|1,2,3|1,2,3,4|1,・・・ において
(1)この数列の第100項を求めよ
(2)初項から第100項までの和を求めよ

群数列 1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,・・・ において
(1)第15群の4番目の数を求めよ
(2)第n群に入る数の和を求めよ
(3)1000は第何群の何番目の数か
  
どれか1つでもいいので、
できれば細かいところまで詳しく解き方を教えてください。
どうしたらいいのか見当もつきません...

Aベストアンサー

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか?
ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
その分だけ難しく映ってしまうわけです。
ですから、群数列を得意にしてしまう秘訣は、
「『第●群の第▲項』⇔『全体を通して第■項』」
という相互変換に習熟することです。
言わば「ローカル番号」と「通し番号」の言い換えですね。

ここで重要なことは、
「この変換はあくまで『番号』と『番号』の間の言い換えであり、
その項の中身の値は関係ない」
ということです。
まずは項の中身を無視して番号に集中し、中身はその後で考えれば良いのです。
群数列を苦手とする人は、この辺りをごちゃ混ぜにして、
自分でわざわざ問題を難しくしてしまう傾向があります。

さらに具体的なコツを述べるとすれば、
いきなり『第●群の第▲項』を扱おうとすると
●と▲の2つを同時に考えないといけなくなるので、
まずは『第●群の末項』について考えることをお勧めします。
すなわち、
『第●群の末項』⇔『全体を通して第■項』
という変換だけを最初に考えるわけです。

第3問を使って実際にやってみましょう。
「まずは中身を無視する」ということを強調するために、
各項を「・」で表すことにします。
・|・・|・・・・|・・・・・・・・|
例えば第4群の末項の通し番号は、
「第1群から第4群までの項数の和」に等しく、
第(1 + 2 + 4 + 8)項 = 第15項となることが分かります。
一般に、各群の末項は
通し番号が気持ち良く求まることが多いのです。
鍵を握っているのは「各群の項数」であり、これを書き並べると
1個, 2個, 4個, 8個, 16個, ……
となりますが、これ自体が1つの数列をなしています。
そして、もとの数列の第k群の末項の通し番号を知りたければ、
この新しい数列の第k項までの和を取ってやれば良いことが分かります。
この場合、「初項1・公比2の等比数列」であり、
和は (2^k) - 1 となりますから、
『第k群の末項』⇔『全体を通して第 (2^k) - 1 項』……(*)
という変換が達成されました。

さて、ローカル番号と通し番号の変換ができたところで、
ようやく中身の値(一般項)を考慮に入れます。
このとき、第1問と第3問のように、
通し番号のほうが一般項を求めやすい場合もあれば、
第2問のようにローカル番号のほうが役に立つ場合もあります。
この違いはどこから来るのかというと、
第1問や第3問ではいったん仕切り棒を取り去ってしまったら、
どこに仕切り棒があったのか分からなくなってしまいますね。
これに対し第2問は、かりに仕切り棒が問題に書かれていなくても、
自分で仕切り棒を書き加えることができるはずです。
それはともかく、いま取り組んでいる第3問は
通し番号で第p項の値はpそのものですからラクちんです。

準備完了です。

(1)第15群の第4項の値を求めよ。
まずはローカル番号を通し番号に変換します。
「第15群の第4項」を言い換えると、
「第14群の末項のさらに4項あと」となります。
(*)を用いると「第14群の末項」⇔「通し番号で第 (2^14) - 1 項」となりますから、
さらにその4項あとは [(2^14) - 1] + 4 より、第16387項です。
したがってその値は16387です。

(2)第n群に入る数の和を求めよ。
第n群は項数2^(n - 1)、公差1の等差数列ですから、
あとは初項と末項を求めれば計算できます。
第n群の初項は「第(n - 1)群の末項の次」であり、通し番号では
[2^(n - 1) - 1] + 1より第2^(n - 1)項です。したがってその値も2^(n - 1)です。
同様にして、第n群の末項は(2^n) - 1となります。
以上より、第n群に入る数の和は「(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2」により
[2^(n - 1) + (2^n) - 1][2^(n - 1)]/2 となります。
n = 3, 4あたりで検算してみてください。

(3)1000は第何群の何番目の数か。
これが「1000は通し番号で第何項か」なら易しく、第1000項です。
あとはこれをローカル番号に変換するだけです。
ある群の末項にぴったり一致するとは限りませんから、
まずは適当に試してみましょう。
(*)より、第10群の末項なら (2^10) - 1 で第1023項、ありゃ、行き過ぎた。
その前の第9群の末項なら第511項。
というわけで
「第1000項」
⇔「第511項のさらに489項あと」
⇔「第9群の末項のさらに489項あと」
⇔「第10群の第489項」
となります。

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか?
ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
そ...続きを読む

Q群数列

群数列をやっているのですが、
回答を見ても意味がわかりません

分かりやすく教えてください!!


(1) 1 , 2 2 , 3 3 3 , 4 4 4 4 ,.......,n n n ,...,n+1, n n n .....

(1)最後のn項は第何項目か
(2)初項から第65項までの和を求めよ。


(1)はわかったんですが(2)がわかりません



(2) 3 , 7 11 , 15 19 23 27 , 31 35 39 43 47 51 ,.....

この等差数列は第m群がm^2-1個の項を含むようにわけてある。


(1)999は第何群の何番目か
(2)999を含む群の総和をもとめよ


999が250項目なのはわかったんですが、
そこから先に進めません


わかりやすい回答おねがいします

Aベストアンサー

こんにちわ。
群数列には「2つの数列」が出てくるので、混乱しないように整理していくのがポイントです。
・1つは、もともと並んでいる数の数列で、
・もう1つは、群に含まれている項数の数列です。


【1】ですが、これは群数列というよりも、数列といった方がいいのでしょうか?
第 n項には「nという数字が、n個並んだもの」があるという意味でいいですか?
ちょっと一般項の表記がよくわかりませんでした。

もし上のとおりであれば、第 n項を nの式で表すことを考えてみてください。
ポイントは「各桁をばらしてみる」ことです。


【2】は、典型的な群数列の問題ですね。
(1)では全体で何番目かが求められていますね。

そこからですが、
・まずは、999(第250項)が第何群に属しているかを求めないといけません。

・たとえば、初項~第 2群の最後までなら 3項、初項~第 3群の最後までなら 7項・・・
というように、第 m群の最後までが全体の第何項になっているかを求めます。
順番に「足していけば」求められますよね。

・第 m群の最後が全体の第何項かが求められれば、第250項がそこに属するとして
(第 m-1群の最後)< 第250項≦ (第 m群の最後)

という式が成り立つはずです。ここから mを求めます。

・あとは、その群の項について総和をとります。
等差数列の和の公式でも、Σの計算でもどちらでもいいですね。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6595196.html

こんにちわ。
群数列には「2つの数列」が出てくるので、混乱しないように整理していくのがポイントです。
・1つは、もともと並んでいる数の数列で、
・もう1つは、群に含まれている項数の数列です。


【1】ですが、これは群数列というよりも、数列といった方がいいのでしょうか?
第 n項には「nという数字が、n個並んだもの」があるという意味でいいですか?
ちょっと一般項の表記がよくわかりませんでした。

もし上のとおりであれば、第 n項を nの式で表すことを考えてみてください。
ポイントは「各桁をばらし...続きを読む


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