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写真のように直線Lと2点A、Bがある。また点A、Bから直線Lにおろした垂線と直線Lとの交点をそれぞれC、Dとする。線分CD上の点をPとしAC=9cm、BD=6cm、CD=30cmのときAP+PBの長さが最も短くなるように点Pをとる。そのときAP+PBの長さを求めよ

これが春休みの宿題でだされたのですがさっぱりわかりません

「数学得意な方教えてください」の質問画像

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A 回答 (5件)

またまたまたまた、#1です。



「15√5とでました。
あっていますか?」

OK。

ところで、この三角形の斜辺が最短なのは理解できました?
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この回答へのお礼

よくわからないです。
もしよかったら教えてもらえますか?

お礼日時:2010/04/03 17:06

点Bの直線Lの対称点をB'とすると


AP+PB=AP+PB'=AB'…(1)

点Pを AB'とLの交点以外の位置にP'をとると
△AP'B'で
三角形の2辺と1辺との関係から
AP'+P'B'>AB'なのでAP'+P'Bは最小にならない。
なので最小とする点PはAB'とLとの交点となります。

AB'は3平方の定理から
AB'^2=AA'^2+A'B'^2
=(AC+CA')^2+CD^2=(AC+B'D)^2+CD^2=(AC+BD)^2+CD^2=(9+6)^2+30^2=15^2+30^2
=15^2*(1+2^2)=5*15^2
したがってAP+BP間の最短距離は(1)からAB'=15√5(cm)(≒33cm5mm)
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またまた、#1です。


(#2の図は、Aが2つありました。w)
(右側のAはBです。)

三角形の斜辺の長さが求まったら、後は相似形なので簡単に求められますよね?
AB'':AB'=BD:PB
 ↓
15:AB'=6:PB
AP=AB'-PB
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なんのためにBPの長さを求めたのでしょう?


AP+PB=AB'を求めるんでしょ?
添付の図の三角形ab'b''の斜辺の長さを求めるだけ。
AB''は9+6=15cm
b'b''は30cm
じゃあ、AB'は?
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この回答へのお礼

15√5とでました。
あっていますか?

お礼日時:2010/04/03 16:53

点Bを直線Lに対称な位置(図の下側)にとった点をB'とします。


このとき、AB'を結んだ線が一番短い線。(だと思う。)w
※PBとPB'は二等辺三角形の両二等辺になるから等しい。
「数学得意な方教えてください」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
BP=12cmとでたのですがAPの長さがわからないので教えてもらえますか?

お礼日時:2010/04/03 16:23

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