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公式で
Y=A^a×B^b×C^cのとき
△Y/Y=a×△A/A+b×△B/B+c×△C/C
というのがありますが、成り立たないように思います。
足し算ではなく掛け算ではないでしょうか

A 回答 (2件)

成り立たないように思うなら,本当に成り立つのかどうか計算してみればいいのです.



Y + △Y = (A+△A)^a×(B+△B)^b×(C+△C)^c
= {A^a+a×△A×A^(a-1)+(△Aの二次以上の項)}{B^b+b×△B×B^(b-1)+(△Bの二次以上の項)}{C^c+c×△C×C^(c-1)+(△Cの二次以上の項)}
   ≒ A^a×B^b×C^c + A^a×B^b×c×△C×C^(c-1) + A^a×b×△B×B^(b-1)×C^c + a×△A×A^(a-1)×B^b×C^c

です.ただし,ΔA,ΔB,ΔCは十分小さいとし,二次以上の微小量((ΔA)^2とか△A×△Bとか)が含まれている項は無視しました.
ですから,

△Y/Y = {(Y+△Y)-Y}/Y
≒ {(A^a×B^b×C^c + A^a×B^b×c×△C×C^(c-1) + A^a×b×△B×B^(b-1)×C^c + a×△A×A^(a-1)×B^b×C^c)-(A^a×B^b×C^c)}/(A^a×B^b×C^c)
= a×△A/A+b×△B/B+c×△C/C

となります.

この回答への補足

分かりました!変化率が小さいことが前提で、出る答えも近似値だったんですね。

Y=4^2×3×4^(-1)
の式で増加率をそれぞれ2倍、3倍、1/2倍として計算したら
23=9/2となってしまって混乱していました。
回答ありがとうございます。

補足日時:2010/04/03 16:33
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この回答へのお礼

ごめんなさい。補足とお礼を間違えました

お礼日時:2010/04/03 16:38

足し算になります。


No1さんが丁寧な説明をされてますので
簡単な説明で。

Y=A^a×B^b×C^c
の対数をとると
ln(Y)=a*ln(A)+b*ln(B)+c*ln(C) ・・・(A)
となります。
(ここでln()は()自然対数をとることを意味します)
上記の式(A)を微分して、対数微分(差分?)の公式
Δlog(f(x)) = Δf/f
を使うことでご質問の式が出ます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
自然対数を忘れてしまったので、高校の教科書を見直して確認しますね。

お礼日時:2010/04/03 16:38

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