個別指導塾講師をしている者です。
生徒からの質問で、恥ずかしながらわからない問題があって困っています。どなたか解答お願いいたします。
問題
9で割り切れる整数全体の集合をA、
15で割り切れる整数全体の集合をBとする。
C={x+y|x∈A,y∈B}とするとき、
Cは3で割り切れる整数全体の集合(Dとする)と一致することを示せ。
C⊂DかつD⊂Cを示せばよい。
C⊂Dについては、
z∈Cとすると、
z=x+y=9l+15m=3(3l+5m)
よって、C⊂D
ここまではわかりました。
このあとのD⊂Cの証明がわかりません。
どなたか解答をお教えください。
No.1
- 回答日時:
3の倍数を整数nを使って3nと表します。
任意の整数nについて
3n = 9l + 15mをみたす整数の組(l,m)があることを示せばいい。
式を簡単にして、n=3l+5m …※
数学的帰納法を使います。
n=0のとき(l,m)=(0,0)
n=1のとき(l,m)=(-3,2)
n=2のとき(l,m)=(-1,1)
n=k(k=0,1,2,…)のとき※を満たす(l,m)が存在すると仮定し、その解を(l,m)=(p,q)とすると
k=3p+5q
ここでk+3=3(p+1)+5qとなるため、n=k+3のときは(p+1,q)は※を満たす。
以上より、nが非負整数のとき、任意のnについて※を満たす整数の組(l,m)が存在することが示された。
nが負の整数のときはl,mの符号を逆にすればいい。
こんな感じで示せます
なるほど!帰納法を使えばいいのですね。
思いつきませんでした。
助かりました。明日生徒に説明してきます!
ありがとうございました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
9*2+15*(-1) = 3
であることから,
3の倍数を 3n と表せば
3n = 9*2*n + 15*(-1)*n
= 2*(9n) +(-1) *(15n)
よって
3の倍数は9の倍数と15の倍数の和
====================
これはユークリッドの互除法
「互いに素な整数m,nにたいして
整数a,bで am+bn=1 となるものが存在する」
がベースになっているだけです.
おぉそっか!
これなら、帰納法を使わずとも
3n=9*(2n)+15*(-n)
ということだけで
D⊂Cが言えそうですね。
ありがとうございました!
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