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あたりまえ過ぎてか、本で調べても載ってないのですが、
1次元調和振動子シュレディンガー方程式の
波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?
これは推測と実験による仮定なのですか?
あとこの振動子の生成消滅演算子の関数は
どうやって求めたものなのでしょうか?
どなたか答えて頂ければありがたいです。
どうかよろしくおねがいします。

A 回答 (5件)

> 波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?


> これは推測と実験による仮定なのですか?

ibm_111 さんの言われることと同じですが,
「シュレーディンガー程式を解くとそうなる」からです。

調和振動子のハミルトニアンは,適当に変数変換して
(1)  H = (1/2)p^2 + (1/2)x^2
の形に書けます.
すなわち,実空間座標 x とそれに共役な運動量座標 p とが
対等な形で入っています.
x 空間と p 空間とはフーリエ変換の関係にあります.
したがって, x を元に考えても
(量子力学の言葉で言えば,x を対角化する表示をとる)
p を元に考えても(p を対角化する表示をとる)
同形にならないといけません.
ガウス関数 exp(-x^2/2) はフーリエ変換しても形が変わらない関数です.
というわけで,ガウス関数が調和振動子の波動関数(基底状態)になっているのは
納得できます.

さて,励起状態の波動関数は x 表示で
(2)  (ガウス関数)×(エルミート多項式)
という形になっています.
これはフーリエ変換すると同形になりません.
なぜか?
理由は境界条件の設定にあります.
普通は,x→±∞ で波動関数が消えるように設定するのですが
(この条件からエネルギー量子化が出てきます),
この境界条件は p→±∞ で波動関数が消えるという設定とは違います.
これが原因となって,励起状態の波動関数は x 表示と p 表示とでは
少し違うのです.

生成消滅演算子は,ああいうふうに定義(テキストに書いているように)すると,
ハミルトニアンが独立したボソンの集合というように書き直せるのです.
これは調和振動子だからそうなるのであって,
他のハミルトニアンですとボソン間の相互作用がいっぱい出てきて
簡単な形になりません.
なお,直交多項式(エルミート多項式もその一種)の立場からするなら,
生成消滅演算子は直交多項式に対する昇降演算子になっています.
昇降演算子とは,エルミート多項式で言えば,
H_n(ξ)の n を上げ下げする演算子です.
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます!!
とてもよくわかりました!!

お礼日時:2003/06/24 17:26

生成消滅演算子の関数というのは、


  a = √(mω/2h) (x + i(2/mω)p)
  a* = √(mω/2h) (x - i(2/mω)p) (ただしhはエイチ・スラッシュを表わす)
という座標・運動量から生成消滅演算子への変換のことでしょうか。
 (1) どうやってこれを思い付くことができるのか
 (2) 調和振動子以外に演算子の代数で解くことができる系はあるのか
というのは多くの人が感じる疑問であると思います。しかし、これに応えてくれる本は多くありません。
 閉じた系は非相対論的にはガリレイ変換に対する不変性を持ちますが、相互作用の形によっては付加的な対称性を持つこともあります(Dynamical Symmetry)。運動方程式を不変にするリー代数がある場合、交換関係を使って解くとこができます。例えば水素原子はO(3,1)という対称性を持ち、Runge-Lenzベクトルという保存量があります。この保存量があるためにエネルギー順位は縮退し、ハミルトニアンの固有値はRunge-Lenzベクトルの交換関係から求めることができます。一般論の詳しい説明は次の文献を見て下さい。
 K. Mariwalla ; Dynamical Symmetries in mechanics, Physics Reports 20, (1975), 287
 MA. Olshanetsky and AM Perelomov ; Quantum integrable systems related to Lie algebras, Physics Reports 94, (1983), 313
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この回答へのお礼

難しいですね!!時間が余った時にでも調べてみます!!
どうもありがとうございました!!

お礼日時:2003/06/24 17:24

線形常微分方程式なので、一般論としては級数展開で解けます。



で、解いてみるとたまたま(?)多項式×ガウシアンの形をしていて、
最も簡単な場合には多項式部分が1になっているわけですが、
本当に「たまたま(?)」なのかどうかが質問の要点ですか?

ソリトンの支配方程式のようにたまたま解けるというわけではない、
つまりその裏に理論があるかもしれませんが
私にはわかりません。
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この回答へのお礼

なるほど!!解けました!!どうもありがとうございます!!

お礼日時:2003/06/24 17:20

>波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?



質問の背景がわからないのですが、もっとも直接的な答えは
「微分方程式を解くとそうなるから」です。

しかし、たぶんもとめている答えは違うんですよね?
物理的な意味を求めているのでしょうか?

この回答への補足

回答を頂きありがとうございます。
ポテンシャルがX**2の拡散方程式って解けましたっけ?
もし解けるようなら解き方のエッセンスだけでも
教えて頂けませんでしょうか?

補足日時:2003/06/21 11:17
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とりあえずご質問の後半半分だけ。



>あとこの振動子の生成消滅演算子の関数は
>どうやって求めたものなのでしょうか?

生成消滅演算子はどのテキストを見ても天下り的にしかあたえられていませんね。小生もどうしてこんな演算子が考えつくのか嘗て考えたことがあります。結構ややこしいし、ここで書くにはあまりにも煩雑で、すぐいやになりますので、一度下記HPのCoffee Breakの項を覗いてみられてはいかがでしょうか。
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/
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この回答へのお礼

とても参考になりました!
どうもありがとうございます!

お礼日時:2003/06/24 17:18

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Q調和振動子

   D:エイチバー
   α:√(mω/D)
   q:αx
1次元調和振動子のn=0の場合の固有関数
 φ0(x)=(mω/πD)^1/4×exp(-q^2/2) 
    =(mω/πD)^1/4×exp(-mωx^2/2D)
を使って
 位置の期待値 <x>=∫x│φ0*│^2 dx
 運動量の期待値 <Px>=∫φ0*(-iDd/dx)φ0 dx
 位置の二乗の期待値 <x^2>=∫x^2│φ0│^2 dx
 運動量の二乗の期待値 <Px^2>=∫φ0*(-iDd/dx)^2φ0 dx
の4つを計算したいのですが、ややこしくて出来ません。
どなたか、計算してみてください。
因みに、答えは『0、0、D/2mω、mωD/2』になる筈です。

Aベストアンサー

vortexcore さんの書かれているように
> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう.

期待値を求める方法はご存知のようですから,あとは積分だけですね.
<x> と <Px> は本質的に

(1)  ∫{-∞~+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2).
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます.
でも,Umada さんご指摘のように,奇関数の{-∞~+∞}積分ですから,
計算するまでもなく答はゼロです.
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで,
対称性を考えれば位置も運動量も正の場合と負の場合が同じ確率で現れますから,
期待値はゼロ,というのが物理的意味です.

<x^2> と <Px^2> の期待値の計算では

(2)  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt
(3)  ∫{-∞~+∞} t^2 exp(-t^2) dt

の計算が必要です.
(2)は有名な積分(ガウス積分)で √π であることが知られています.

(2')  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt = √π

(2')で,t^2 = az^2 とおきますと

(2'')  ∫{-∞~+∞} exp(-az^2) dz = √(π/a)

となり,(2'')の両辺を a で微分してから a=1 とおけば

(3')  ∫{-∞~+∞} z^2 exp(-z^2) dz = (1/2) √π

が得られます.これで(3)の積分は解決.
あとは係数の調整だけですので,
自分で手を動かしてみてください(これが大事です).

Umada さんの言われるように,x と Px の線形結合を使った演算子を用いると
簡単ですが,たしかに概念的にとっつきにくい気はします.

調和振動子では運動エネルギーの期待値とポテンシャルエネルギーの期待値が
等しいこと,および基底状態のエネルギーが (1/2)Dω であること,
を使ってよいなら,

(4)  <Px^2>/2m = (1/4)Dω  (運動エネルギー期待値)
(5)  (k/2) <x^2> = (1/4)Dω    (ポテンシャルエネルギー期待値)

です.k はばね定数で,ω^2 = k/m.
(4)=(5) で,(4)+(5) が(1/2)Dωになっています.
これから簡単に <Px^2> と <x^2> が出ますね.
でも,これは反則かな?

おまけに(2')の導出(よく本に載っています):

(6)  I = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt

として

(7)  I^2 = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt ×∫{-∞~+∞} exp(-y^2) dy
      = ∫{-∞~+∞} dx∫{-∞~+∞} dy exp{-(x^2+y^2)}
      = ∫{r=0~+∞} ∫{θ=0~2π} exp(-r^2) r dθ dr
      = 2π ∫{r=0~+∞} exp(-r^2) r dr
      = π

から(2')が直ちにわかります.
(7)で2行目から3行目に移るところは,
(x,y) 座標から (r,θ) の極座標に変換しました.

vortexcore さんの書かれているように
> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう.

期待値を求める方法はご存知のようですから,あとは積分だけですね.
<x> と <Px> は本質的に

(1)  ∫{-∞~+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2).
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます.
でも,Umada さんご指摘のように,奇関数の{-∞~+∞}積分ですから,
計算するまでもなく答はゼロです.
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで,
対称性を...続きを読む

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む


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