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素数には最大のものがるとか、今知られている素数の最大値(メルセンヌ素数)の値を知っていたら教えて下さい。

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素数」に関するQ&A: 素数は無限

A 回答 (5件)

なにかskoyanさんの回答を拝見すると、「無限」に関する考え方を勉強中なのかな、と思います。



人間のできることは高々有限なのだから、いかなる無限のものも証明できない、といわれているような気がします。

それはつまり、自然数、実数が無限にあること、数学的帰納法の証明の仕方すら否定しているような気がします。複素数すら、実生活にありえないから存在しない、と言われてるような…

生活に置き換えれば、見えるもの、数えられるものしか信じませんといってるようなものですが、その問題を克服し無限を扱うことを可能にしたのが過去の数学者たちの成果です。

背理法の証明方法自体は確かにいろいろ不満に思っている数学者もいるようですが、それ以外の無限を扱う証明方法に疑問をはさむ余地はありません。

背理法以外の証明方法をご覧になってはいかがですか?
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それと、この証明が気に入らないということでしたら、


オイラーやエルディシュによる別証を読むとよいでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0# …
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>所謂素数は無限にあるというのは、何らかの仮定があるのではありませんか。



仮定ですか?
もちろん、素因数分解の存在性と一意性は用いてますね。
さらにさかのぼれば、数学的帰納法を使ってよいとか、
ペアノ公理系を仮定しているわけですが。

>もしそうでなければ、メルセンヌ素数といえども今知られている・・・
>というのは変ですよ。
>ある数から先の素数が知りえないとすれば、無限にあるは言えなくなります。

ちょっと論理がよくわからないのですが、
現在、「ある数から先の素数が知りえない」とするならそれは、
「予算が足りなくて優秀なコンピュータを作れない。」とか
「高速なアルゴリズムを作るのが難しい」とか
金銭的・技術的な問題であって、数学的な問題ではありません。

>素数が有限と仮定しても、そのすべてを取り出して、
>掛け算できるのは極めて少ない数の場合です。

どういう意味ですか?
p_i=素数とすると、
q=p_1 p_2 p_3 ・・・p_n
で、nが非常に大きい場合、qは整数でなくなるということですか?

>たとえば2×3×5=30ですから、2×3×5+1=31として、
>例の証明法で次の素数ができます。
>しかし、30×31=931ですが、931=133×7で素数ではありません。

ですが、931=7^2 19であらたに7、19という素数を得ることができます。
この証明法で、あらたな素数を得るためには、
((すべての素数の積)+1)で終わるのではなく、
((すべての素数の積)+1)を素因数分解することが必要です。
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「素数が無限にある」は、証明済みのことであって、「既知のメルセンヌ素数が有限個である」ということとは直接関係ありません。



素数が有限個だと仮定します。その場合、((すべての素数の積)+1)は、いかなる既知の素数でも割り切れないので素数ということになります。つまり仮定と矛盾するので、仮定が「偽」であるということになります。

この回答への補足

 素数が無限にあるというのは、背理法の例題としてギリシャ時代から有名です。しかし、それだけで疑問を持たないのは理数系を志す方の軽率な態度では?と思います。

素数が有限と仮定しても、そのすべてを取り出して、掛け算できるのは極めて少ない数の場合です。「無限」のように人間の直観とはかけ離れた世界では、疑問を持たずに済むことでしょうか。数学の素人なら1以上の自然数のすべてと、10以上の自然数のすべてが同じ個数とは思わないでしょう。それと同じです。

 たとえば2×3×5=30ですから、2×3×5+1=31として、例の証明法で次の素数ができます。
しかし、30×31=931ですが、931=133×7で素数ではありません。これではもっと大きな数になれば、簡単にはすべての素数を抽出して掛け算できるとは言えません。それは単なる仮定です。

 任意の自然数NはN<N+1ですから、いくらでも大きい自然数が存在します。しかし、素数は上記の例のように、大きい数になるほど次の素数との掛け算では、間にそれを割れる数が出てくるので、この式からは素数は出てきません。任意のNよリ大きい素数が存在すると仮定すれば、無限に存在することを仮定することであり、存在証明の必要が無くなります。・・・ではある数より大きい素数は存在しないとすれば、当然無限ではなくなります。その限界として、2進数(メルセンヌ数)であろうが10進数であろうが、最大の限界値があれば、この証明には関連してきます。

 いくらでも計算で求められる、というのなら当然素数は無限存在になりますが、それならわざわざ計算機を多数駆使して計算するのも意味のない事です。と言う事で、現在時点の最大の素数とは何かを質問しました。
 私の個人見解では、「素数は無限とも有限とも言えない」のではと思います。ただし他の証明法の知識はありませんので、別証明についての意見ではありません。

補足日時:2010/04/15 13:01
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素数は無限にあるので最大のものはない。


今知られている最大という意味なら、wikipediaのメルセンヌ素数の項目に一覧表があるので確認すると良い。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB% …

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB% …
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この回答へのお礼

  所謂素数は無限にあるというのは、何らかの仮定があるのではありませんか。
もしそうでなければ、メルセンヌ素数といえども今知られている・・・というのは変ですよ。
 ある数から先の素数が知りえないとすれば、無限にあるは言えなくなります。

お礼日時:2010/04/14 17:00

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