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半径1の円に内接する三角形の面積の最大値について
円上の任意の点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)をとり、
直線y={(y3-y1)/(x3-x1)}x+(-x1y3+x3y1)/(x3-x1)
  y={(y2-y1)/(x2-x1)}x+(-x1y2+x2y1)/(x2-x1)
  y={(y3-y2)/(x3-x2)}x+(-x2y3+x3y2)/(x3-x2)の3つを得る。
ここで、xy平面上の集合Dの面積?D?は2重積分
?D?=∫∫[D]dxdy = ∫[a→b]{f(x)-g(x)}dx から
?D?=1/2x1(y2-y3)+1/2x2(y1+y3)+1/2x3(y1-y2)-x2y2 になりましたが、ここからうまく進めません。根本的な求め方等アドバイスの程よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

「半径1の円に内接する三角形の面積の最大値」を求めたいのですね?



貴方のやった部分は、重積分など使わなくても、
高校の教科書にも載っています。ベクトルの範囲ですね。

面積を表すその式の値を、
制約条件 (x1)^2+(y1)^2 = (x2)^2+(y2)^2 = (x3)^2+(y3)^2 = 1 の下に
最大化する …とやらかすと、大学生向けの演習になってしまいますが、

x1 = cos α,
y1 = sin α,
x2 = cos β,
y2 = sin β,
x3 = cos γ,
y3 = sin γ
と媒介変数表示して、面積を α, β, γ の関数として最大値を探す
…と考えれば、高校の微積分で処理できる範囲なのでした。

この回答への補足

なるほど、媒介変数表示して、面積を α, β, γ の関数として最大値を探す方法もありますね。考えてみます。
また、2重積分の単元を読んでおりましたら、その単元の最後にこの問題が出ておりましたので、2重積分で求めるのだと思いました。もしよろしければ、2重積分を使って、この面積の最大値を求める方法のアドバイスをいただければと思います。宜しくお願い致します。

補足日時:2010/04/16 13:58
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この回答へのお礼

何とか3√3/4の答えを求めることができました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/19 13:54

さらに. 面積が回転に対して不変であることとちょっとした幾何学的知識を使えば, もっと簡単に


(1 - cos θ) sin θ
の最大化まで落ちますよね>#2.

この回答への補足

アドバイスいただきまして、ありがとうございます。
式を展開していったところ、S=1/2{sinα-sinβ+cosαsinβ-cosβsinα}となりました。
0≦α≦2π、0≦β≦2π としておりますが、Sの最大値を求めるには、ここからどのように展開していけば良いのでしょうか?お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

補足日時:2010/04/18 17:48
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この回答へのお礼

何とか3√3/4の答えを求めることができました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/19 13:54

何をしたいのでしょうか?

この回答への補足

2重積分の単元を読んでおりましたら、その単元の最後にこの問題が出ておりましたので、2重積分で求めるのだと思いました。もしよろしければ、2重積分を使って、この面積の最大値を求める方法のアドバイスをいただければと思います。宜しくお願い致します。

補足日時:2010/04/16 13:56
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Q円に内接する三角形の面積が最大のときの三角形の形の証明

【問題】
平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A、B、Cがある。
三角形ABCの内接円の半径rは1/2以下であることを示せ。

rが最大のときは円の面積が最大。そのときの三角形ABCは正三角形だと
予想できるのですが、証明の仕方がわかりません。
わかる方教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

まず、方針としては以下のようになります。

(1)内接する三角形のうち三辺a,b,cの和が最大となる三角形は正三角形である
 事をまず証明します。

(2)それから、ヘロンの公式S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を利用し、
S/s^2 = r/sの最大値はa = b = c すなわち、正三角形の時である
事を証明します。

ただし、a + b + c = 2s rは内接円の半径である。

(3)(1)(2)より、sの最大値,S/s^2の最大値はそれぞれ、正三角形の時で
あるから、(S/s^2)×s = (r/s)×s = rより、このとき同時にrも最大
になるので、その値がr = 1/2である事を示す。

といった手順で証明可能だと思います。

(1)について、

正弦定理より、a = 2sinA , b = 2sinB , c = 2sinCと表せます。
a + b + c を最大にするためには、2(sinA + sinB + sinC)を最大
にすれば良い事がいえる。ただし、(A + B + C) = πである。
y = sinxは、0 < x < πの範囲で上に凸の関数であるといえるので、
(sinA + sinB + sinC)/3 ≦ sin{(A+B+C)/3} = sin(π/3) = √3/2
であり、sinA + sinB + sinC ≦ (3/2)√3であり、
A = B = Cのおき等号が成立するので、A = B = C = π/3であり、
a + b + c は、a = b = cのとき、最大値3√3を取ると言える。

a + b + c ≦ 3√3 (a=b=cのとき等号成立)
すなわち、s≦ (3/2)√3 (2s = a + b + c)

(2)について、

S/s^2 = r/s =√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/x)となり、
ここで、相加・相乗平均の関係より、

{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3) ≦ {(1-a/s)+(1-b/s)+(1-b/s)}/3
{(3s-(a+b+c))/s}/3 = 1/3 より、
{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3)≦ 1/3

よって、√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s) ≦ (1/3)^(3/2) = 1/3√3
等号成立は、(1-a/s) = (1-b/s) = (1-c/s)すなわち、
a = b = cのときだから、この時、r/sは最大値1/3√3を取る。
すなわち、r/s ≦ 1/√3 (a=b=cのとき等号成立)

(3)について、

r = (r/s)×s
(1)(2)より、
(r/s)≦1/3√3 、s≦3√3/2 (ともに、a=b=cのとき等号成立)
r/s×s = r ≦ 1/2である事から、
r = 1/2が最大であると言える。

まず、方針としては以下のようになります。

(1)内接する三角形のうち三辺a,b,cの和が最大となる三角形は正三角形である
 事をまず証明します。

(2)それから、ヘロンの公式S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を利用し、
S/s^2 = r/sの最大値はa = b = c すなわち、正三角形の時である
事を証明します。

ただし、a + b + c = 2s rは内接円の半径である。

(3)(1)(2)より、sの最大値,S/s^2の最大値はそれぞれ、正三角形の時で
あるから、(S/s^2)×s = (r/s)×s = rより、このとき同時にrも最大
になるので、その...続きを読む

Q円に内接する三角形の面積の最大値を求める(偏微分)

 半径1の円に内接する三角形の面積の最大値を偏微分を利用して求める問題です。
 △ABCにおいて、点Aの座標をA(1,0)、点Oの座標をO(0,0)とし、また、∠AOB=α、、∠AOC=β (ただし、0<α<β<2π) とおき、B(cosα , sinα)、C(cosβ , sinβ)としました。
 △ABCの面積Sは、(途中の計算は省略させていただきます。以下も同じ)
  S={ sinα - sinβ + sin(β-α) }
となりました。ここで、Sをα、βで偏微分すると、
dS/dα = sin(β/2)*sin{(β-2α)/2}
dS/dβ = sin(α/2)*sin{(2β-α)/2}
d(dS/dα)/dα = -sin(β/2)*cos{(β-2α)/2}
d(dS/dα)/dβ = {sin(β-α)}/2
d(dS/dβ)/dβ = sin(α/2)*cos{(2β-α)/2}
となり、
dS/dα = 0
dS/dβ = 0
を満たすα、βを求めると、
    α = (2/3)π 、β = (4/3)π
となりました。
さらに、α = (2/3)π 、β = (4/3)π の時、
d(dS/dα)/dα = -(√3)/2
d(dS/dα)/dβ = (√3)/4
d(dS/dβ)/dβ = -(√3)/2
より、
    { d(dS/dα)/dβ }^2-{ d(dS/dα)/dα }*{ d(dS/dβ)/dβ } = -9/16 < 0
であるから、
    Sはα = (2/3)π 、β = (4/3)π の時に極大値となり、S = 3(√3)/4
ここで、Sがα = (2/3)π 、β = (4/3)π の時に極大値 3(√3)/4をとるが、最大値となるか確かめるために、
 『α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える』
ために、増減表を作成し求めていきました。
しかしながら、
『「α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える」ことで、なぜ極大値が最大値と分かるのか根拠を述べよ』
とご指摘いただき、これに対してどのように答えれば良いのか分からず、困っておるところです。
どなたかアドバイスいただければと思います。よろしくお願い致します。

 半径1の円に内接する三角形の面積の最大値を偏微分を利用して求める問題です。
 △ABCにおいて、点Aの座標をA(1,0)、点Oの座標をO(0,0)とし、また、∠AOB=α、、∠AOC=β (ただし、0<α<β<2π) とおき、B(cosα , sinα)、C(cosβ , sinβ)としました。
 △ABCの面積Sは、(途中の計算は省略させていただきます。以下も同じ)
  S={ sinα - sinβ + sin(β-α) }
となりました。ここで、Sをα、βで偏微分すると、
dS/dα = sin(β/2)*sin{(β-2α)/2}
dS/dβ = sin(α/2)*sin{(2β-α)/2}
d(dS/...続きを読む

Aベストアンサー

>「α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える」ことで、なぜ極大値が最大値と分かるのか根拠を述べよ』

α = (2/3)π とした時、βを変化させるということはBを円周上で動かすことになります。面積が最大になるというのは点Cと直線ABとの距離が最大になるときであり、その位置を外すと面積は減少します。そのへんを説明すればよいでしょう。

Q(1)円に内接する三角形の内面積最大となるものを求めよ。

(解答)
半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α+β+γ=2πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π-(α+β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
f'=cosα-sin(α+β)-cos(α+β)
 =cosα-{sin(α+β)+cos(α+β)}=0
cosα=sin(α+β)+cos(α+β)
=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ
したがってα=β
よって面積が最大となるのは、α=β=γのとき、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

上のように解いたのですが、説明は十分でしょうか?
助言をお願い致します。

(解答)
半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α+β+γ=2πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π-(α+β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定して...続きを読む

Aベストアンサー

>ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
>(中略)
>したがってα=β

図形的に考えると、角βを固定して、面積が最大になるのは点Aが丁度反対側にある場合だと思います。
なので結論がおかしそうですが、どうですか?


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