図形の問題です。

図形の問題です。
正四面体の各辺の中点を直線で結んだ。正四面体の一辺の長さは2cmである。今、頂点Pから頂点Qまで、辺または直線上を通って4cmで移動したい。同じ辺または直線を2回通ってはならないとすると、移動の仕方は何通りあるか。ただし、中点を結ぶ直線は、立体内部を通らない。

答えは22通りです。
効率の良いやり方がわかりません。
どなたかご教授ください。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/04/16 18:17

＃１さんへの補足で付けたR～Yを使って、もう少し効率のいい方法を。

Pから進むことができるのは、P→T、P→U、P→V　の３通り
Qに進むことができるのは、T→Q、W→Q、X→Q　の３通り
なので、この３×３＝９通りの組み合わせを調べればいいことになりますが、P→TとT→Qの組み合わせはないから、残り８通りだけ調べることにします。

P→TとW→Qは、T→X→W、T→V→Wの２通り
P→TとX→Q、P→UとT→Q、P→VとT→Qも、対称性から同様に２通り

P→UとX→Qは、U→T→X、U→R→X、U→Y→Xの３通り
P→VとW→Qも、対称性から同様に３通り

P→UとW→Qは、U→T→W、U→V→W、U→X→W、U→Y→Wの４通り
P→VとX→Qも、対称性から同様に４通り

以上から、2×4＋3×2＋4×2＝22

No.2 回答者： ItachiMasamune 回答日時： 2010/04/16 05:11

すみません。

(5)は4通りでしたね。

ちなみに(3)と(4)は同じ図形だし、(6)～(9)も同じ図形だから改めて計算する必要ないですね。

No.1 回答者： ItachiMasamune 回答日時： 2010/04/15 23:39

一度に大量の直線を考えるとややこしいので、場合分けをして考える。

場合分けで大事なことは過不足なく分類すること。すべての解が分類され、かつ同じ解を重複して分類されないように気を付ける。
私は通る平面で分類してみた。
説明しやすいように平面に名前をつける。
Pと向かい合ってる平面をA、Qと向かい合ってる平面をB、のこりの平面をCとDと名付ける。対称性からCとDはどっちでもいい。
ここで、面Aと面Bを通る場合とか、面Aのみを通る場合などと場合分けしたいのだが、問題がある。
それは、辺上を通る場合、その辺はどちらの面に含まれるのかという問題である。
この問題を解決するために、面ABCDに辺は含まれないとして考える。
例えば、辺上のみを通ってPからQに行った場合、面ABCDのどの面も通らなかったということになる。面Aを通ったと言った場合、面A上にある直線を通ったことになる。

[I]どの面も通らない場合
この場合、辺上のみを通るので2通り。
[II]一つの面のみを通る場合
(1)面Aを通る場合
0通り
(2)面Bを通る場合
0通り
(3)面Cを通る場合
3通り
(4)面Dを通る場合
3通り
[III]二つの面のみを通る場合
(5)面Aと面Bを通る場合
6通り
(6)面Aと面Cを通る場合
2通り
(7)面Aと面Dを通る場合
2通り
(8)面Bと面Cを通る場合
2通り
(9)面Bと面Dを通る場合
2通り
(10)面Cと面Dを通る場合
2通り
全部足すと24通りになります。
あれ？

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
自分なりに考えて頂点と中点にそれぞれP,Qの他にR～Yのアルファベットをつけてました。
アルファベットの位置は添付した画像の一番手前の頂点をR,右奥の頂点をS。
中点はPQ間がT,PR間がU,PS間がV,QS間がW,QR間がX,SR間がYとしました。
△QSRの平面をA、△PSRの平面をB、△PARの平面をC、△PQSの平面をDと名付けました。
これをもとに回答いただいたものと照らし合わせていきます。
再度アドバイスお願いします。

[I]どの面も通らない場合
この場合、辺上のみを通るので2通り。
P→U→R→X→Q、P→V→S→W→Q
[II]一つの面のみを通る場合
(1)面Aを通る場合
0通り
(2)面Bを通る場合
0通り
(3)面Cを通る場合
3通り
P→U→T→X→Q、P→U→X→T→Q、P→T→R→X→Q
(4)面Dを通る場合
3通り
P→V→T→W→Q、P→T→V→W→Q、P→V→W→T→Q
[III]二つの面のみを通る場合
(5)面Aと面Bを通る場合
4通り
P→U→Y→W→Q、P→U→Y→X→Q、P→V→Y→W→Q、P→V→Y→X→Q
(6)面Aと面Cを通る場合
2通り
P→U→X→W→Q、P→T→X→W→Q
(7)面Aと面Dを通る場合
2通り
P→V→W→X→Q、P→T→W→X→Q
(8)面Bと面Cを通る場合
2通り
P→V→U→T→Q、P→V→U→X→Q
(9)面Bと面Dを通る場合
2通り
P→U→V→T→Q、P→U→V→W→Q
(10)面Cと面Dを通る場合
2通り
P→V→T→X→Q、P→T→V→W→Q
全部足すと22通りになります。

補足日時：2010/04/16 02:47