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f(x) が |f(x)|≦x^2(xの二乗)であるとき f′(0) について考察せよ。 という問題がわかりません。 だれか教えてください。

A 回答 (2件)

まず、


  |f(x)| ≦ x^2
  -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2
より、
  f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
  (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
  (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
  f(x)/x = f'(c)
  (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
  -x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
  f'(0) = 0


補足、
上に書いたのは[0,x]を考えているのでx>0の場合です。
つまり右極限lim[c→+0]{f'(c)}しか考えていないので、区間[x,0]で考えた場合も同様に証明しといた方がいいかもしれません。
また、平均値の定理を使うためf(x)を[0,x]で微分可能と仮定しています。そもそもこの仮定が成り立つかどうか、成り立たない場合にはどうか、別に考える必要があります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。平均値の定理が思いつきませんでした…。参考にさせて頂きます。

お礼日時:2010/04/25 10:37

「考察」という日本語の意味はわかりますか?

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