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単振動の振動中心で速さが最大になることの証明の仕方がよく解りません。

参考書類を読んでも「振動の中心で速さは最大となるので~v0=Aω~」としか書かれていないので、質問させて頂きました。
勉強不足で申し訳ないのですが、詳しい方がいらっしゃいましたら教えて下さい。

あと、この本に詳しく書いてある、等のことも教えて頂けるとありがたいです。
宜しくお願いします。

A 回答 (1件)

数学屋なのであまり物理には詳しくないですが、。

。。
単振動のの変位をx=Asinωtとすると(-A≦x≦A)つまり-AからAまで振動するとすると、速さvは
v=(dx/dt)=Aωcosωt(-A≦v≦A)であり、ωt=0(x=0)のときvは最大値Aをとります。
x=0とは振動の中心ことなので振動の中心で速さは最大になります。
私なりにおの証明です。これでどうですか?
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この回答へのお礼

やっと理解できました…そう考えたらよく解ります。

お忙しい中本当にありがとうございました、これですっきり次の問題に取り組めそうです^^

お礼日時:2010/05/01 04:42

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Q単振動

こんばんは。高校物理の単振動に関する問題です。
[問題]
振幅A、振動数fの単振動をしている物体の、振動の中心を原点としたとき、時刻tにおける物体の変位xを表す式を記せ。ただし、時刻t=0における変位はAであったとする。

[解答]
この解答として、単振動の変位はx=Asin(ωt+Φ)で与えられる。ω=2πfであり、周期t=0における変位はAであるから、Φ=π/2となり、x=Acos2πft 

とありました。ここで質問ですが、どうして単振動の変位は
x=Asin(ωt+Φ)という式が導き出されるのでしょうか?具体的に、Φとはどういうものですか?

 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

[少し難しい解説]
もし高三で数学IIIを理解しているのなら、x=Asin(ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば(具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。(AとΦ)
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります)

[簡単な解説]
単振動がsinあるいはcosで表せる事を認めたとします。
振動を特徴付ける量は何でしょうか?
1.まず振幅を汁必要があります。これがAです
2.それから振動の速度の情報も必要があります。これがωです。
3.実はこれだけでは足りず、振動を完全に記述するには、振動開始の時(t=0)のときにどの位相にあったかをしる必要があります。バネの問題なら、t=0のときにバネが伸びているときに手を離す問題や、あるいは釣り合いの位置から何かではじいて振動を開始させる問題など、いろいろ考えられ、これを区別する必要があります。少し考えればΦの値を変えることで、これが式の上で再現できるのが分かるのではないでしょうか?
バネが伸びた状態から振動をはじめる、あるいは振り子が高い位置から振動をはじめるようなときは、x=Acos(ωt)になるのは参考書にも書いてあるでしょうが、実はΦ=90度 or pi/2ラジアンとすることで、同じ事が再現できます。つまりx=Asin(ωt+Φ)で全ての場合が再現できるのです。(中途半端な位置から振動をはじめた場合などもうまくΦを選べば大丈夫です)

こう考えると、
> ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はx=Asin(ωt)
> となっておりますが、x=Asin(ωt)に対して、どのような条件付けがされるとx=Asin(ωt+Φ)になるのでしょうか?

この参考書の記述は一般的には正確ではなく、単振動の変位の公式はx=Asin(ωt+Φ)とするべきです。ではどの条件のもとでx=Asin(ωt)になるかが問題になります。それはΦ=0の時です。これは物理的にはバネが釣り合いの位置から振動をはじめたり、振り子が最下点から上昇することで振動をはじめたりしたときです。サイン関数のグラフを思い浮かべてみてください。

参考になれば幸いです。

[少し難しい解説]
もし高三で数学IIIを理解しているのなら、x=Asin(ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば(具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。(AとΦ)
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります)

[簡単な解説]...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q垂直抗力=0のときって?

物理の問題を解いてみたら解けなくて解答を見たら「小球が斜面上を運動する条件は、垂直抗力≧0」とありました。私は垂直抗力=0ならば斜面から離れると思っていたので、垂直抗力>0として解いていたため解けなかったようです。私は垂直抗力=0のときって斜面上って言えるのですか?そして垂直抗力が0で面に触れている状態の例を教えていただけませんか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず凹凸があり、
小球は斜面から離れると思います。
しかし、斜面をより精密に滑らかにすれば、
さきほどよりは斜面から離れなくなると思います。

そしてさらに斜面を滑らかにして…
と繰り返していけば、
「垂直抗力=0で斜面から離れない」といった
現実ではちょっと考えられないような状態に
どんどん近づいていくはずです。

その極限を私はイメージします。
もっとも、これは極限だから、実際にはありえないでしょうけど。

もし工学的に応用したいのであれば、
いくらかの余裕(マージン)を見ておけば
実用上問題ないでしょう。

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず...続きを読む

Q速度と速さの違い

速さが正で速度がプラスもマイナスも取れるのだと思っていましたが、間違えていたみたいです。

正しく教えて下さい。

Aベストアンサー

速度とは、単位時間あたりの物体の変化(向きと大きさ)
速さとは、単位時間あたりの物体の移動距離(大きさ)
です。

Q重力のした仕事と位置エネルギーの関係

次のケース1について、お伺いします。
基本的な内容なのですが、困惑しております。どうかヒントを下さい。

(ケース1)
地表(高さ0m)にある物体(質量 m)を高さhまでもっていきます。
すると、物体はmghの位置エネルギーをもちます。
ところでこの位置エネルギーは、重力(-mg)のする仕事と関係があるかと思います。
しかし重力のする仕事は、-mghと負の値です。

重力のするこの負の仕事と位置エネルギーをどう結びつけて考えるのかが分かっておりません。

また、物体を高さhに持っていくには、重力に逆らう上向きの力が必要で、重力と大きさが同じで
向きが異なる力F (= mg)という力でhまでもって行ったとします。

Fのした仕事は、mghで正ですが、すると物体は正味でゼロの仕事(Fのした仕事+重力のした仕事 = 0)
を受けたことになり、地表にあったときとエネルギー状態が変わらないことになってしまいます。
しかし実際は、位置エネルギーmghをもっているはずです。


たとえば、
(ケース2)として、最初物体が高さhにあったとし、地表に落ちていき、地表に着く直前の速さを求める、という
場合は、
1/2mv^2 = mgh
と求められますが、右辺は位置エネルギーとも見えますが、重力のした仕事で、
重力のした仕事が運動エネルギーに変わったとなり、とても分かり易く納得がいきます。


ケース1をよく説明する方法を教えて頂きたく、どうか宜しくお願い致します。

次のケース1について、お伺いします。
基本的な内容なのですが、困惑しております。どうかヒントを下さい。

(ケース1)
地表(高さ0m)にある物体(質量 m)を高さhまでもっていきます。
すると、物体はmghの位置エネルギーをもちます。
ところでこの位置エネルギーは、重力(-mg)のする仕事と関係があるかと思います。
しかし重力のする仕事は、-mghと負の値です。

重力のするこの負の仕事と位置エネルギーをどう結びつけて考えるのかが分かっておりません。

また、物体を高さhに持っていくには、重力に逆ら...続きを読む

Aベストアンサー

まず位置エネルギーの前に,その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化=された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
1/2・mv^2 - 1/2・mv0^2 = W

物体を高さhまでもちあげるとき,
手力がした仕事:F×h = mgh
重力がした仕事:-mg×h = -mgh
された仕事の合計:W = 0

エネルギー原理によって,運動エネルギーの変化がゼロ,ということになります。ちゃんとつじつまが合っていますね?

0 = F・h + (-mgh)

そこで(-mgh)を移項して左辺に持ってきます。

0 + mgh = F・h

左辺は力学的エネルギーの変化分を表しています。これを拡張された「エネルギー原理」と呼ぶことにしましょう。

拡張されたエネルギー原理
----------------------------------------------------------------------
力学的エネルギーの変化=保存力(上の例では重力)以外の力によってされた仕事
----------------------------------------------------------------------
右辺がゼロの場合,これは力学的エネルギー保存の法則になります。

つまり,位置エネルギーとは

(1)物体を基準点からその点まで移動したときに,重力からされる仕事の符号を変えたもの
または,
(2)物体をその点から基準点にもどすときに,重力からされる仕事
と定義されるわけです。

したがって,位置エネルギーを考えに入れるならば「重力による仕事」はもはや忘れて下さい。符号が異なるだけで同じものなので,両方を一緒に考えることはできないのです。

まず位置エネルギーの前に,その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化=された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
1/2・mv^2 - 1/2・mv0^2 = W

物体を高さhまでもちあげるとき,
手力がした仕事:F×h = mgh
重力がした仕事:-mg×h = -mgh
された仕事の合計:W = 0

エネルギー原理によって,運動エネルギーの変化がゼロ,ということになります。ちゃんとつじつまが合っていますね?
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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

Q次亜塩素酸など、『次~』『亜~』なんとかについての質問です。

題名の通りなのですが、次~や、亜~はどういう意味なのでしょうか。亜硫酸や、次亜塩素酸を例に是非教えてください。また、過塩素酸の過~の意味もよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 これは、酸に含まれる酸素の数です。
 標準的なものより酸素が一つ少ないと「亜」が付きます。
さらに、2つ少ない場合は、「次亜」が付きます。
逆に一つ多いと「過」が付きます。


 H2SO4 硫酸
 H2SO3 亜硫酸

 HClO3 塩素酸
 HClO  次亜塩素酸
 HClO4 過塩素酸

Q無機化学はなにを暗記すればいいんですか?

無機化学は暗記だと書いてありました。
参考書を開いたら、いろいろ書いてあります。
が、なにを覚えればいいのかわかりません。

例えば、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体

これをまんま覚えればいいのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。無機化学は確かに暗記が必要ですが、理解を伴った効率的な暗記が必要です。

「フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体」と唱えてもいざ問題を解くときには忘れてしまいます。

無機化学は極めようと思っても、学生には無理があります、ごくまれに難関大学でマイナーな元素の性質を問う問題もありますが、無機で出る問題はほとんど決まっています。

あなたはおそらく無機化学初心者でしょうから、頻出事項とマイナーな事項の区別がつかないと思いますので、参考書を使うことをお勧めします。

現在あなたが持っている参考書が何なのかわかりませんが、多くの参考書には「重要!」「ここがポイント!」などの重要箇所があると思います。まずはそこを覚えましょう。

もしあなたの参考書が使いにくいのならば、別の参考書にしましょう。あまりマニアックなのは避けて、シンプルで基礎的な参考書にしましょう。東進ブックスの「岡野の化学をはじめからていねいに(無機・有機化学編)」などがお勧めです。

さて暗記するコツを教えましょう。無機化学で暗記する物は大きく分けて2つです。1つは物質の性質。もう一つは化学反応式です。物質の性質はほとんど丸暗記です。ですが性質が似ている元素のグループを知っていると覚えることが少し減ります。アルカリ金属・アルカリ土類金属・遷移元素・ハロゲン・希ガスや両性元素・酸性酸化物・塩基性酸化物などのグループは押さえましょう。またゴロで覚えるのも効果的です。私が使っているのは、両性元素は「ああすんなり(Zn Al Sn Pb)」。「ひ さん に働く」で「非」金属の酸化物は「酸」性酸化物。「禁 煙」したい「金」属の酸化物の「塩」基性酸化物。などなど。


化学反応式についてはほとんど暗記の必要はありません。反応の原理だけ知っていれば知らない化学反応式でも書けます。そのために必要な知識を書きます。

(1)イオン化傾向の大きい順番
K Ca Na Mg Al Zn Fe Ni Sn Pb H2 Cu Hg Ag Pt Au(貸そう か な ま あ あ て に すん な ひ ど す ぎ るしゃっ(はく) きん)
(2)基本的な反応原理
・弱酸の塩 + 強酸 → 強酸の塩 + 弱酸 (弱い者は出ていけ!反応)
・弱塩基の塩 + 強塩基 → 強塩基の塩 + 弱塩基 (弱い者は出ていけ!反応)
・揮発性酸の塩 + 不揮発性酸 → 不揮発性酸の塩 + 揮発性酸

・イオン化傾向がA>Bのとき
 A + Bの陽イオン → Aの陽イオン + B

・酸性酸化物 + 塩基 → 塩 + 水 (中和反応)
・塩基性酸化物 + 酸 → 塩 + 水 (中和反応)

・酸性酸化物 + 水 → オキソ酸
・塩基性酸化物 + 水 → 塩基

・両性酸化物 + 塩基 → 塩 + 水 (中和反応)
・両性酸化物 + 酸 → 塩 + 水 (中和反応)

それでは、また何かあったらどうぞ。

こんにちは。無機化学は確かに暗記が必要ですが、理解を伴った効率的な暗記が必要です。

「フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体」と唱えてもいざ問題を解くときには忘れてしまいます。

無機化学は極めようと思っても、学生には無理があります、ごくまれに難関大学でマイナーな元素の性質を問う問題もありますが、無機で出る問題はほとんど決まっています。

あなたはおそらく無機化学初心者でしょうから、頻出事項とマイナーな事項の区別が...続きを読む


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