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ある問題をやっていたら、
自分の解き方では
Σ(1/4k+1)

Σ(1/4kー1)
の計算をしなければならなくなりました。

そこで、高校時代の教科書・参考書等を引っ張り出してきて、解法を探したのですが、わかりませんでした。

この計算は可能なのでしょうか?
どなたか教えてくださいm(_ _)m

A 回答 (5件)

これは『ライプニッツの級数』を求めようとしているのですね?



ライプニッツの級数:Σ[n=1 to ∞]_{(-1)^(n+1)}/(2n-1) = π/4

【定理】
交代級数 Σ[k=1 to ∞]_{(-1)^(k+1)}(α_k) (α_k > 0) において, {α_n} が単調に減少し 0 に収束するならば, この級数は和を持つ。

ですから, この計算は可能か?
という問の答えは可能です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>ライプニッツの級数
そう言うのですか、たしかに、その等式について考えてます。
具体的に、to100000などの値について求めることは可能でしょうか?

お礼日時:2003/06/28 22:36

Σ[n=1 to 10000]_{(-1)^(n+1)}/(2n-1) ≒0.7853731633975108

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あっ!1/(4k+1)だったんですか?!(馬鹿な回答をしてしまった。

。)
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この回答へのお礼

あ、すいません。
私の表記ミスです。

お礼日時:2003/06/28 19:33

(kを動かす範囲が省略されていますね?1~nでしょうか?)



ポイントは、Σの「線形性」(=和について分配でき、定数倍を外に出せること)によって、

 Σ(1/4 k+1) = 1/4Σk+Σ1

と変形し、Σの中を簡単にすることです。
あとは Σk、Σ1 それぞれの公式を適用して、おしまい。

参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/si …
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Σ{1/(4k+1)}=1/5+1/9+1/13+・・・や、


Σ{1/(4k-1)}=1/3+1/7+1/11+・・・
をそれぞれ単独で求める(k=1~nとして、nの式で表す)のは無理だと思いますが。

元の問題はどのようなものなのでしょうか。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

問題としては、円周率の近似値を求める問題なのですが、
僕のやり方では途中で、
Σ{1/(4k+1)}ーΣ{1/(4k-1)}
となるのです。

単独で無理ならば、これではいかがでしょうか?

お礼日時:2003/06/28 19:32

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