この積分の問題ができません。誰かやり方を教えてください。
次の関数を積分せよ
log(X^2 +1)
sin(logX)

A 回答 (3件)

(1)log(X^2 +1) dX


= X’log(X^2 +1)dX
=Xlog(X^2 +1)-∫X[log(X^2 +1)]’dX
=Xlog(X^2 +1)-2∫(X^2 /X^2 +1)dX
=Xlog(X^2 +1)-2∫(X^2 +1-1/X^2 +1)dX
=Xlog(X^2 +1)-2∫(1-1/X^2 +1)dX
=Xlog(X^2 +1)-2X+2∫(1/X^2 +1)dx・・・ⅰ
ここでX=tanAとするとdX/dA=1/cos^2 AよりdX=1/cos^2 A・dAなので、これをⅰに代入すると
Xlog(X^2 +1)-2X+2∫(1/tanA+1)・1/cos^2 A dA
= Xlog(X^2 +1)-2X+2∫(cos^2 A/cos^2 A)dA
= Xlog(X^2 +1)-2X+2A
X=tanAとおいたので、Aについて解くと、A=arctanX (arctanX=逆三角関数)
以上より∫log(X^2 +1)= Xlog(X^2 +1)-2X+2arctanX+C (Cは積分定数)
部分積分ですね。見にくくてすいません。

書くのにめちゃくちゃ手間がかかるので(1)だけで勘弁して下さい・・・
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積分なんて?年ぶりなので自身はないのですが・・・。


私のリハビリを兼ねて(2)の方を。

これもやっぱり部分積分で、係数:1 が x を微分したものだとみなせればおしまいという感じです。(ただし、計算自体はあまり自信がないのですが・・・。)

∫sin(log(x))dx = x・sin(log(x)) - ∫x・{sin(log(x))}'dx
= x・sin(log(x)) - ∫x・1/x・cos(log(x))dx
= x・sin(log(x)) - ∫cos(log(x))dx
= x・sin(log(x)) - { x・cos(log(x)) - ∫x・1/x・(-1)・sin(log(x))dx }
= x・sin(log(x)) - { x・cos(log(x)) + ∫sin(log(x))dx }

これを整理すると

∫sin(log(x))dx = x・sin(log(x)) - x・cos(log(x)) - ∫sin(log(x))dx

よって
∫sin(log(x))dx = x/2・{ sin(log(x)) - cos(log(x)) }

こんなのであってますかね?
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-2x + 2 arctan(x) + x log(1+x^2)



-1/2 x cos(log(x)) +1/2 x sin(log(x))

この回答への補足

ここにいたるまでの流れも教えてください。

補足日時:2001/04/03 05:10
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