ｎから２ｎの間に奇素数が全く存在しない区間があるとすると，

Question

ｎから２ｎの間に奇素数が全く存在しない区間があるとすると，
それは，どの様なｎになりますか？　ただし，ｎは正の整数です．

無限に近い非常に大きな自然数列の中に，奇素数が全く存在しない膨大な区間があるといわれます．しかも，その区間は，幾らでも大きく取れると聞いたことがあります．そこで，上記の質問がでたわけです．
一応，この質問を命題の形に書いておきます．

（１） ｎ を正の整数とする．ｎ＝1, 2, 3, ・・・．
　　　　ｎ∈Ｎ（自然数全体の集合）

（２） ｍ を正の整数とし，ｍ は　ｎ＜ｍ＜２ｎ　を満たすとする．

（３） 集合Ａ(ｎ)を以下のように定義する．ｎを或る値に固定した時，
　　　　　Ａ(ｎ)＝{ ｍ | ｍ,ｎ∈Ｎ,　ｎ＜ｍ＜２ｎ}

Ａ(ｎ) の 元 ｍ∈Ａ(ｎ) は，ｍ＝ｎ＋１，ｎ＋２, ｎ＋３，・・・　
・・・　２ｎ－２，２ｎ－１　となる．

●命題：集合Ａ(ｎ)の全ての元 ｍ∈Ａ(ｎ)が奇素数でないような，十分大きな正の整数ｎが存在する．

この命題は，成り立つでしょうか？　成り立たないでしょうか？
ご教授下さい．また，単なるご意見でもかまいませんので，お寄せ下さい．

（参考）：仮に，ｎ＝10 とすると，10 と 20 との間には，奇素数 11, 13, 17, 19 が存在します．ｎ＝23 とすれば，46 との間には，奇素数 29, 31, 37, 41, 43 が存在します．この様にならない十分大きなｎが存在するでしょうか？　と言うのが，質問の趣旨です．

nag0720 · Accepted Answer

その命題（の否定）はベルトランの仮説と呼ばれ、1850年にチェビシェフによって証明されています。
どんな証明方法かまでは分かりませんが。

ベルトランの仮説：n が 1 より大きい整数であれば n < p < 2n なる素数 p が存在する

Takuya0615 · Answer

明らかに成り立たないでしょう。
奇数も偶数も自然数では１つおきにやって来ます。ｎが大きければ大きいほど特に成り立たないですね。

＞仮に，ｎ＝10 とすると，10 と 20 との間には，奇素数 11, 13, 17, 19 が存在します．ｎ＝23 とすれば，46 との間には，奇素数 29, 31, 37, 41, 43 が存在します．
これはおもいっきり反例でしょ？

naniwacchi · Answer

こんにちわ。
専門ではないので、間違ったところがあるかもしれませんが。＾＾；

テレンス・タオ、ベン・グリーンという数学者さんが「素数の集合の中には任意の長さの等差数列が存在すること」を証明しています。
ということは、この命題自体は成り立つと言えると思います。

そして、この証明の方法（方針）が面白いと聞いたことがあります。
上記のような等差数列が「存在する確率」を計算し、ゼロにはならないことを示したのだと。

naniwacchi · Answer

#2です。

すいません、ちょっと勘違いをしていました。
「素数の集合の中には任意の長さの等差数列が存在すること」なので、その間に素数がまったくないとはいえませんね・・・
「素数砂漠」の問題となると、また違いますね。

失礼しました。

yoikagari · Answer

問題は明らかに成立しないです。
他の方も言ってますが、nを2以上の整数とするとき
n＜p≦2nをみたす素数(つまり奇素数)が必ず存在することが証明されています。
このことの、証明は下記サイトにあります。
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/chebyshev.pdf

ｎから２ｎの間に奇素数が全く存在しない区間があるとすると，

明らかに成り立たないでしょう。

こんにちわ。

#2です。

その命題（の否定）はベルトランの仮説と呼ばれ、1850年にチェビシェフによって証明されています。

問題は明らかに成立しないです。

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