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nから2nの間に奇素数が全く存在しない区間があるとすると,
それは,どの様なnになりますか? ただし,nは正の整数です.

無限に近い非常に大きな自然数列の中に,奇素数が全く存在しない膨大な区間があるといわれます.しかも,その区間は,幾らでも大きく取れると聞いたことがあります.そこで,上記の質問がでたわけです.
一応,この質問を命題の形に書いておきます.

(1) n を正の整数とする.n=1, 2, 3, ・・・.
    n∈N(自然数全体の集合)

(2) m を正の整数とし,m は n<m<2n を満たすとする.

(3) 集合A(n)を以下のように定義する.nを或る値に固定した時,
     A(n)={ m | m,n∈N, n<m<2n}

A(n) の 元 m∈A(n) は,m=n+1,n+2, n+3,・・・ 
・・・ 2n-2,2n-1 となる.

●命題:集合A(n)の全ての元 m∈A(n)が奇素数でないような,十分大きな正の整数nが存在する.

この命題は,成り立つでしょうか? 成り立たないでしょうか?
ご教授下さい.また,単なるご意見でもかまいませんので,お寄せ下さい.

(参考):仮に,n=10 とすると,10 と 20 との間には,奇素数 11, 13, 17, 19 が存在します.n=23 とすれば,46 との間には,奇素数 29, 31, 37, 41, 43 が存在します.この様にならない十分大きなnが存在するでしょうか? と言うのが,質問の趣旨です.

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A 回答 (5件)

問題は明らかに成立しないです。


他の方も言ってますが、nを2以上の整数とするとき
n<p≦2nをみたす素数(つまり奇素数)が必ず存在することが証明されています。
このことの、証明は下記サイトにあります。
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/chebyshev.pdf
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この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました.
証明のPDFは保存して読んでみます.

お礼日時:2010/05/09 13:18

その命題(の否定)はベルトランの仮説と呼ばれ、1850年にチェビシェフによって証明されています。


どんな証明方法かまでは分かりませんが。

ベルトランの仮説:n が 1 より大きい整数であれば n < p < 2n なる素数 p が存在する
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この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます.
この御回答こそ,知りたかった事の本質です.
「ベルトランの仮説」は理解しましたので,
「チェビシェフの証明」を調べてみます.

お礼日時:2010/05/08 16:17

#2です。



すいません、ちょっと勘違いをしていました。
「素数の集合の中には任意の長さの等差数列が存在すること」なので、その間に素数がまったくないとはいえませんね・・・
「素数砂漠」の問題となると、また違いますね。

失礼しました。
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この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます.
テレンス・タオ、ベン・グリーンという数学者は知りませんでした.
調べてみます.

お礼日時:2010/05/08 15:55

こんにちわ。


専門ではないので、間違ったところがあるかもしれませんが。^^;

テレンス・タオ、ベン・グリーンという数学者さんが「素数の集合の中には任意の長さの等差数列が存在すること」を証明しています。
ということは、この命題自体は成り立つと言えると思います。

そして、この証明の方法(方針)が面白いと聞いたことがあります。
上記のような等差数列が「存在する確率」を計算し、ゼロにはならないことを示したのだと。
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明らかに成り立たないでしょう。


奇数も偶数も自然数では1つおきにやって来ます。nが大きければ大きいほど特に成り立たないですね。

>仮に,n=10 とすると,10 と 20 との間には,奇素数 11, 13, 17, 19 が存在します.n=23 とすれば,46 との間には,奇素数 29, 31, 37, 41, 43 が存在します.
これはおもいっきり反例でしょ?
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この回答へのお礼

早速,ご回答をありがとうございました.
直感的には,成り立たない気はしますが・・・.

お礼日時:2010/05/08 15:52

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