円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、（それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式）
円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。

あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているＵＲＬを教えてください。
ないとすれば、なぜないのか（つくることの不可能性）を知っていれば教えてください。
取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/05/09 22:26

５角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。

外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。

多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、
外接円の半径をr、
各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、
θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r　（k=1,2,・・・,n）
面積Sは、
S=Σ[k=1～n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1～n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

問題は、rが求められるかどうかですが、
sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0
を加法定理で分解し、
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r
を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。
でも５角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。
数値解析で求めるなら可能ですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

θはどうしましょう？

お礼日時：2010/05/14 20:59

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/05/09 21:52

＞円に内接する多角形

すべての頂点が円周上にある多角形と理解するならば、円の中心と隣り合う2つの頂点を結ぶ三角形は
半径rを二等辺とする三角形となり、その三角形の頂角(中心角θi）が解ればこの二等辺三角形の面積が決まります。
よって問題の円に内接する多角形の面積Ｓは

S=Σ(i=1→n）r^2・sinθi/2
ただしΣ(i=1→n）θi＝2π

r,θi(i=1→n）が指定できればこの面積は確定します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

僕の考えたところでは、全ての辺の長さと、
1つ内角が分かれば、面積が求まると思います。

お礼日時：2010/05/10 00:20

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/05/09 20:27

円に内接する多角形という条件だけでは、そもそも、５角形以上では図形が１つに決まりません。

もちろん面積も決まりません。

この回答へのお礼

え!!そうなんですか？

じゃあ、1つの角度か、外接円の半径が分かればできますか？

お礼日時：2010/05/09 21:08