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なんで正多角形に二等辺三角形ができるの?
小学生に算数を教えることを考えてください。
正多角形の中心と各頂点とを線で結ぶと、二等辺三角形が数多くできると思うのですが、これを小学生に対して、きちんとした理由で説明したいと思っています。
どう教えればいいのか、アドバイスをお願いいたします。

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A 回答 (3件)

#1です。



「小学生向け」と考えると、表現の仕方も難しいですね。
(なにげに、外接円などと書いてしまいましたが)

#2さんの言われているとおり、角の二等分線というのがポイントですね。

・角の二等分線により分割される角度は等しいので、できた三角形は二等辺三角形になることが言えますね。
・そして、中学の数学を使えば、「一辺の長さとその両端の角が等しい」ことからそれぞれの二等辺三角形が合同であることも言えますね。

あとは、角の二等分線が一点に集まる(交わる)こと。そして、その点が「中心」であることをどう説明するか・・・。
実際に正方形や五角形で作図して切り取ったりすることで説明するのか・・・難しいですね。
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正多角形の定義とは、各辺が同じ長さで、すべての角が同じ角度の多角形と言うことだと思います。

とすると、任意の一つの角の二等分線を引き、一つずらして隣の角でも同じように二等分線を引くと、この二つの二等分線と正多角形の一辺とが作る三角形は(正多角形の一辺となっている辺の両側の角度が等しい、だって正多角形の同じ内角の1/2同士だから)二等辺三角形です。すべての角についてこれをやると、すべて2等辺三角形となりますから、正多角形はその2等辺三角形の等しい辺の長さを半径として、2等辺に挟まれた頂点を中心とする円に内接するほかなくなります。
ということでだめでしょうか?実際に正多角形の任意の隣接する二辺をとって、それを二辺とする三角形を考えさせ、その二等辺三角形の底辺に向かって垂線を引かせる、と言う作業をすべての辺に対してやらせると、納得がゆくのではないでしょうか?
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こんばんわ。



「正多角形の中心」が外接円の中心になっていることが言えれば、その半径が等しい辺となって二等辺三角形ができることが説明できますね。
となると、「正多角形の中心」がどのように決められているかがポイントになると思います。
そこは、どのように定義されていますか?

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
外接円の発想は勉強になりました。

ご指摘いただいた正多角形の中心の捉え方ですが、それも含めて説明するよう求められているようです。
回答者様には関係ないところでこんなざっくりした要求で申し訳ないです。
それに、私が受け持つのは小学校4年生で、円という概念があるのか正直わかりません(あるのかな?)


もしほかに考えがあったら勉強させてください。
ちなみに外接円で説明する場合、中心の捉え方は対角線の交点で理解を得られるでしょうか?

ものすごく他人頼りでごめんなさい。気が向いたら回答をお願いします。

補足日時:2010/05/10 00:54
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Aベストアンサー

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
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これを利用すると正5角形には2種類の互いに相似である二等辺三角形がたくさんあることがわかります.1つは(36°,72°,72°)の二等辺三角形で△ACDや△A'C'D'や△EAD'や△ABC'などが該当します.もう1つは(36°,36°,108°)の二等辺三角形で△AB'Eや△A'C'E'や△ADEなどが該当します.(自分で確かめてみましょう)

△EAD'と△AC'D'は互いに相似で(36°,72°,72°)の二等辺三角形で,△AB'Eは(36°,36°,108°)の二等辺三角形です.AE=D'E=1とC'D'=xからAD'=AC'=B'E=1-xです.よって△EAD'∽△AC'D'よりEA:AD'=AD':D'C'なので,
1:(1-x)=(1-x):x → x=(1-x)^2 → x^2-3x+1=0 → x=(3-√5)/2 (←注:x<1なので±は負のみ有効)
以上より外側の正5角形と内側の正5角形の相似比は,1:(3-√5)/2(内側を1とすると(3+√5)/2:1)であるとわかります.

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
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普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
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最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
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適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
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Qパーセントの計算がまったく出来ません…

本当にお恥ずかしいのですが、パーセントの計算方法を教えて下さい。

お店のバーゲンセールなどでよく「50%オフ」「45%オフ」といった表示を見ます。50%は半分ということは「感覚」でわかるので、定価が2000円ならその50%オフは1000円ですし、1500円なら750円と計算が出来ます。
ですが、たとえば75%オフだとか、44%オフだとか、80%オフだとか、そういう中途半端(?)な数の場合、さっぱりわからないのです。テレビなんかでバーゲンセールを取材している様子を見るとリポーターの女性なんかが「定価が○○円で、65%オフ!?ということは○○円ですね!?」などとパッと暗算で計算しているのを見るととても驚きます。

暗算とまではいかなくても計算機(ケータイにもその機能はありますし)があればいいので、どういう計算式でその%オフされた数字を出すのか教えて下さい。

また、今のバイト先で、商品の売り上げ目標というのを作るのですが、先輩たちのミーティングを見ていると「目標○○万円でしたが、××円しか売り上げがなく、△△%の達成率となってしまいました」と報告をしているのですが、この場合もどのような計算式で計算しているのでしょうか?

消費税を出す場合につきましても教えて頂きたいのですが、今現在の税率は5%で、その計算をする場合は「定価×1.05」で出ますよね。なぜ、1.05をかけるのかわからないのです。

本当にお恥ずかしいのですが、どうか教えてください。まったくわからないので、出来る限り丁寧で細かい説明をして頂けると本当に助かります。よろしくお願いいたします。

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Aベストアンサー

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場合ですが、「オフ」=値引きです。
つまり、1000円の30%分を値引きします、ということですよね。
だから、元の値段1000円から1000円の30%分である300円を引いた
残りである700円が答えです。
でもそれを計算するのは面倒なので、ちょっとテクニックがあります。
30%オフということは、元の値段の70%分を求めればよいと考えます。
つまり、1000円の70%なので700円、となります。
ここまではいいですか?

次、達成率の計算ですが、、
目標100万円に対して売り上げも100万円だったら達成率は100%なのは
感覚的に分かりますよね?
つまり、達成率=(実際の値÷目標値)です。
%で表現する場合はこれに100を掛けます。(●%=●÷100だから)
たとえば目標50万円で売り上げ35万であれば35÷50×100なので70%になります。

最後、消費税。前述のオフとは逆で、消費税5%分を上乗せする、と考えます。
つまり、税抜き●円であれば、●円と●円の5%を足した金額が税込み金額です。
式にすると●+(●×5÷100)です。
これが基本ですが、先程のオフの計算のテクニックと同じ考え方が適用できます。
5%上乗せした額ってことは、元の値段の105%分を求めればよいと考えます。
ですから●×(105÷100)です。
ここで出てくる(105÷100)は1.05ですよね。
つまり、元の値段●に1.05を掛ければよいのです。

おまけ。暗算を早くするためのテクニック初級編として3つだけ書いておきます。
1.計算式に掛け算と割り算しかない場合、もしくは足し算と引き算しかない場合、
  順番を無視しても答えは一緒です。
  上の例でいくと35÷50×100は35×100÷50でも答えは一緒です。
  で、100÷50を先に計算して、それに35を掛けます。
  これならすぐに暗算できますね。

2.割り算の場合、前後の数字に同じ値を掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば35÷50であれば、前後に2を掛けて(35×2)÷(50×2)でも
  答えは一緒です。
  35÷50の暗算は一瞬悩むけど、70÷100なら簡単ですよね。

3.掛け算の場合、前後の数字を分解して細かく掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば25×32を計算する場合、32は4×8なので25×4×8を計算しても
  答えは一緒です。
  25×4は100、100×8で800ということで25×32=800です。
  これなら暗算できそうですよね。

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場...続きを読む


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