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部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

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A 回答 (24件中1~10件)

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。



「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。
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>>例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、


>>H が空集合である可能性を排除できません。

>これ…どうして空集合である可能性を排除できないのですか??
>任意の元について言っているのだから空集合にならない…とずっと思っていました…。

記号論理の基礎です。
a∈H となる a がひとつもなければ、命題「a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H」は成立しています。
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分かっているんだけど、わかっていないんだろうなぁ~><



惜しいんですよ。難しく考えすぎているのと、記号に追われてしまっている気がしています。

こういうときに、目の前でひざを付き合わせられないのが、口惜しい。。

う~ん、群 の表記も少し甘いし(ごめん書き方がちょっときついね)、

理解されているかどうかの例が、出てこないんだよなぁ。

群は 2項代数だからね、演算子と、要素がなにか。

この二つは、最初に書かないとね。

で、Z=3Z と書かれているけど、この表記はまずいよ。

日本語でも英語でも、説明できないから。

式や記号はあくまで言葉でしかないんだから、自分だけ分かっているんじゃダメなんだ。

一回ね、戻ったほうがいいかも。

何度も書いていることだけど、この群について、考えてみよう。

要素:0を含まない実数全体。
演算子:四則演算の掛け算。

これをGとしたときに、Gが群になることは示せるよね。

それからHと言う集合を考えてみよう。

問題文のとおりに行けば、空集合にはならないからね。

a,b は どういう風にとってこられるか?

一段ずつ登ろう。ピラミッドも一段ずつしか積めなんですよ^-^

ちょっと勘違いがあるかもしれないから、念のため。

定義されている、のではなく、題意より のほうがこの場合は正しいと思う。

問題によって定義されていることだからね♪

こんなことは分かっているんだ! と言いたいかもしれないけれど、

どこまであなたが理解されているか分からないから。

僕の学生さんじゃないからね。教わり方が違うから。


ちょっと長くなるけど、もう一つ書いておこう。

「0」「1」「2」の例があったね。

あのときに、「0」={0,3,6,9,12・・・・・・}
 #以下略
とできる。としましたね。

とすると、 3~6 がいえるか?

これはいえるよね。 同値の題意によって。

ところが、値としては、全く別のものだよね。

3=6 これは 偽 ですね(!)。

「3で割った余りは0ですよ」 なので 題意より 「同値(~のほうで)ですよ」。

こうなんだよね。 ここ大事だよ。

すごく当たり前のことだけど、記号だけ追うと、見えないからね。

気をつけてね。

長文ごめん。 2人いますからね。ダイジョウブなんだ。

理解はできるようになるはずだよ。

あくまで言葉と言うことを忘れずに。

PS. 補足はkokoさんがやってくださっていますので、省略させていただきました。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

>要素:0を含まない実数全体。
>演算子:四則演算の掛け算。

演算子はわかるのですが、どうして0を含まない実数全体だとわかるのですか??
Gは群であることは書かれていますが、実数かどうかはわからないのでは…


>定義されている、のではなく、題意より のほうがこの場合は正しいと思う。

わかっていませんでした…
ご指摘ありがとうございます。


同値の説明すごくわかりやすかったです!!
3=6にはなりませんよねー
同値関係って“性質的に同じ”値っていうふうに捉えても大丈夫ですか??

補足日時:2010/05/23 21:40
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例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、H が空集合である可能性を排除できません。


これを踏まえてもう一度考えましょう。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

Gが群であることからGの部分集合Hは空集合ではあり得なくなっている!!
…また違うかなぁ。

>例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、H が空集合である可能性を排除できません。

これ…どうして空集合である可能性を排除できないのですか??
任意の元について言っているのだから空集合にならない…とずっと思っていました…。

補足日時:2010/05/23 21:22
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>ab^(-1)がHに含まれているとしていることによって、Hが空集合であることはあり得なくなっている!!



残念。やり直し。
その a, b が何処からやってきているのか再度補足して下さい。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

>その a, b が何処からやってきているのか再度補足して下さい。

a,bはGからやってきています。


Hが空集合でない理由は…
H∋aに対して、a^(-1)∈Gが存在する
ということを用いますか??
…またかけ離れた答えになっていますか??

補足日時:2010/05/23 16:13
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>「前提条件」はGが部分群であるということですか??


>Gは部分群なので、Gは空集合ではなくて、
(略)
>Hは空集合であることはあり得なくなる、ということでしょうか??

あー。すごく遠ざかった。
単に部分集合というだけなら、空集合も部分集合でしょ?

数学では、いちいち自分の考えた論述のステップ(○○ならば△△)を疑いながら進まないと。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

ab^(-1)がHに含まれているとしていることによって、Hが空集合であることはあり得なくなっている!!

補足日時:2010/05/23 12:32
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ANo.16の補足を読んでなかった。



>「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、
>aとbは同値関係であると定める。このとき、HはGの部分群である。」
>というふうに解釈するのでは!!?

惜しい。非常に惜しい。


>…とすると、Hは3Zとか、7Zとか、色々ありますが、前に3Zで考えたとき、
>あれから明らか(?)に Z=3Zになりますよね。

ちゃうねん。最初の時点で、H は 3Z とか 7Z とかのような部分群かどうかわからんのよ。
極端な話空集合かもしれんのよ。
でも「前提条件」によって空集合であることはあり得んのよ。

さあ「前提条件」は何でしょう。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

惜しい…というのは、
>「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、
の、
>Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとする
の部分でしょうか??


「前提条件」はGが部分群であるということですか??
Gは部分群なので、Gは空集合ではなくて、
HがGの部分集合になっているということは、
Hのすべての要素がGの要素となっているので、
空集合でないGの要素となる要素がHの中に含まれているので、Hは空集合であることはあり得なくなる、ということでしょうか??

補足日時:2010/05/23 10:19
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>日本語で考えると…


>「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係のとき、aはaa^(-1)∈Hと定義されている。」
>となると思います。

全然違います。
というか、それで日本語として意味が通っていますか?
何が前提条件か考えながら上記の文を書いていますか?
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そういうことを言っているのではないんだけど。



単射が示されるとか、全単射だとか、そういう以前の問題かも?

先走りすぎていると思いますよ。濃度なんかは、まだ先でいいよ。

今は、問題がちゃんと理解できているか?のほうが大事。

何回も書いているけど、群Zを 演算子掛け算(四則演算の)、実数全体として

部分集合Hを考えてみて?

そして、問題の条件に当てはまるような、a,bを取ってくる。

まずこれができるかどうか。

次に一般にまで広めればいいから。

(ア)に当たるのかな? 問題の意味が理解されていないところが

まだ見えますよ。

分かった気になってはいけないから、ちゃんとしておこうね。

>「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。

この説明ができてないと、どうしても解けてないことになりますね。

説明できないと、意味が分かっていないことになる。

「~」 の記号は、前に書いたとおり。

だいぶヒントは出しているつもりなんだけどな・・・。

記号に踊らされている気がしますよ。

多分、説明できないけど分かった気になっているんだと思う。

こういうのは放っておくと、後々苦労するよ。

kokoさんも書かれてあるとおり、部分集合H の取り方は?

これが前提条件になるんじゃないかな?

記号論じゃないからね。数学も言葉の学問だからね。


これは別な質問なんだけど、

この問題にでてくる 「~」 と 「⇔」 の記号。

どこがどう違う? 定義されたもの? 

だとしたらどういう意味かな? 違いはなんだろう?

こういうところから固めていくのも一つの道かもしれない。

余計なことかもしれないけれど。m(_ _)m

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。
全然余計じゃないです!!
むしろ全然理解できていない私にこんなに長くご指導して下さっていることに感謝です。

Zを群、Hをその部分集合とし、m,n∈Zに対し、「m~n⇔n-m∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはZの部分群である。

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
Zの任意の元m,nに対し、mとnが同値であるとき、n-mはHに含まれると定義する。このとき、HはZの部分群である。

…ということでしょうか??

…と書いているときに、思ったのですが…kokoさんの補足に(ア)を日本語で説明したのですが、間違った気がしてきました!!上のZのことについても…!!


Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群である。
問題文はコレ↑ですが、
「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、aとbは同値関係であると定める。このとき、HはGの部分群である。」
というふうに解釈するのでは!!?

そう考えると…
>Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
Zの任意の元m,nに対し、mとnが同値であるとき、n-mはHに含まれると定義する。このとき、HはZの部分群である。

…ではなく、
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
いま、Zの任意の元m,nに対し、n-mがHに含まれているとすると、mとnは同値関係であると定められる。このとき、HはZの部分群である。
というふうになるのでは…。

…とすると、Hは3Zとか、7Zとか、色々ありますが、前に3Zで考えたとき、あれから明らか(?)にZ=3Zになりますよね。

補足日時:2010/05/23 09:37
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>疑問を抱きながらの証明で、今もその疑問は解決していません。



解決はかなり遠そうですね。
まだ問題文に挙げられている「前提」がなにかわかっておられないようです。

>aa^(-1)∈Hより、というのは(ア)からです。
では(ア)をよく日本語で考えて、何が前提で、何が定義で、H に要素 e が存在することが何処から導出されているかを説明して下さい。

>きちんと言葉で言えなければ…とは思うのですが、とりあえず記号で。
つまりは記号の意味する所が理解できていない、ということです。
こればっかりは、自分で何とかするしかありません。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。

>G∋aに対して、a~aはaa^(-1)∈Hと定義されている。…(ア)

日本語で考えると…
「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係のとき、aはaa^(-1)∈Hと定義されている。」
となると思います。

>H に要素 e が存在することが何処から導出されているかを説明して下さい。

上の日本語から考えると、
「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係」であることから、Hに要素eが存在することが言えるのだと思います。

補足日時:2010/05/23 08:15
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集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
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距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q教育実習時期について、怒られました

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期ということだけが発表されており、いつから開始されるかは未定とのことでした。

実習高校の教育実習期間は、一年前の時に内諾書をもらいに行く段階で、6月と9月のどちらかを選べるといわれていたのですが、私は卒業論文に支障が出ると困ると思ったことに加えて、当初の予定では就職活動は4月ごろに内定が出て終了しているはずだったので、教育実習に影響はないと思い、6月を選びました。

3月中に、私の担当の先生の方に電話をかけ、
企業の採用開始時期が地震の影響で6月にずれ込んでしまい、教育実習とかぶってしまったのですがどうしたらいいかと相談しました。

その時に、できたら後日直接お伺いして、直接お話をしたいと考えていました。

すると、教科主任の先生の電話を代わられました。

その際、私はもし可能であれば、大変申し訳ないのですが教育実習の期間を9月に変えてもらえないかとお伺いしました。

失礼にあたるのはわかっていましたが、教職免許も今まで頑張ってきた分しっかり取りたいと考えていたので、お願いしました。

わたしとしては、企業と高校に、早い段階からアプローチしておいたほうが迷惑が掛からないのではないかと考えた結果でした。

その電話先でかなり怒られましたが、職員会議にかけるので、連絡を待っていてほしいと言われました。

しかし、いつまで待っても一向に連絡が来ないのでこちらから問い合わせてみたところ、
再び電話口でかなり怒られ、実習期間は9月に変更してもらえたのですが、
後日高校に来る日時を指定され、一方的に電話を切られました。

怒られた内容は、一回目も二回目もだいたい同じようなものでした。

教育実習は本来、高校のボランティアで行っているもので、実習生の都合にいちいち対応していられない

このような場合キャンセルするのが当然なのに、普通は変更は認められていない

先生になる気もないのに中途半端な姿勢で臨まれては迷惑

だいたい電話一本で済ませようとするのがおかしい

企業にもお願いしたところずらしてもらえても実習期間内でした。

私は初めの電話は、相談のつもりで電話をしました。
地震で、どうしたらいいのか全く分かりませんでしたが、相談できるところもなかったので電話をしました。

そこで主任の先生に突然電話相手が代わり、時期の変更などを聞いてみたところ話が進みました。

直接行くつもりでしたが電話だけで話がすんでしました。

連絡を待つように言われたのでかけなおしてみたところ怒られましたが、
私はキャンセルしたほうが迷惑になるのではないかと考えていたので、時期の変更意外に思いつきませんでした。地震という非常時だったので、何か措置を引いてくれるのではと、少し期待していました。

教員になるつもりはありませんが、
途中まで本気で先生になりたいと思ってきました。しかし在学中にやりたいことが見つかったので、民間企業を志望する結果となりました。
しかし今まで大変な教職課程を受講してきた身として、しっかりと免許を取りたい、という気持ちがありました。

電話一本で済ませるつもりもなかったのでとても不本意でした。

加えて高校の時の先生に怒られるというのは、とても精神的ダメージが大きく、来週に実習校に呼び出されたわけですが、とても気が重いです。

私が悪いのはわかります。
周りの友人は、この非常時なんだから高校が地震に合わせた対応をしてくれてもいいんじゃないかと言ってくれますが、本来ならば、実習期間の変更はとても失礼です。

しかし怒られている内容がなんだか腑に落ちなくてもやもやしています。
なんだか気持ちがまったく伝わっていなくて残念な気持ちになりました。

それに職員会議にかけられた以上、先生方の周知の事実なので、実習中の風当りはとてもきついのではないかと思います。

私の取った行動は間違えだったのでしょうか。
大学には相談機関がないので、いまとてもつらいです。

またこれからどうしたらいいのか、とても気持ちが落ち込んでいます。
実習に行きたくないですが、これ以上迷惑もかけられません。

来週高校に行くと思うと気が重いです。
なにかアドバイスがあればおねがいします。

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期とい...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権です。
教育実習を迎え入れる高校も、あなたを学生としてではなく
「ちゃんとした社会人になれるか」という観点で見ています。
こういう場合に「そうだね、じゃあしょうがないよね~」という対応だったら
むしろあなたを社会人として見ていないということですから
「そういうナアナアの対応には憤慨してもいい」というくらいの気持ちで
これからはやっていかなければなりませんね。

高校側はあなたに本当に良い勉強をさせてくれたと思います。
これが社会人の一発目の洗礼だと真摯に受け止めて
言い訳はせず、非は認め、一生懸命実習には取り組む
それしかないと思います。
あなたの実習期間を見て、高校の先生方もまた色々考えられることがあるでしょう。
大丈夫ですよ。

どうか頑張ってください。

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権で...続きを読む

Q群で単位元について分かりません。

群を学習するにあたって、単位元というのが出てくるのですが、
教科書には、
もし、演算に単位元が存在するならば、それは一意である。というようなことが書かれていたのですが、
それは、単位元が演算によって決定されるということなんでしょうか?


勿論、仮に二つ単位元が存在した場合、
a,b=単位元
a=a*b=b*a=b

となり、a=bとなることはわかります。
ですが、群全体の単位元がaだとして、部分群の単位元がbだとすると、
かならずしもa=bでは無いんじゃないでしょうか?

というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は1です。
ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。
a=0,
単位元をbとするとb=0
a*b=b*a=a=0
だからです。

ということは、同じ演算で作られた群でも、違う集合で違う単位元が存在できるということですよね?

つまり、教科書で言っているのは、ある特定の群に対し、単位元は一つしかない。

ということであっているでしょうか??

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

いいところこついてるというか
こういうことをきちんと考えるのはいいことだと思います.

>というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は1です。
>ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。

ここが間違え.
R全体は掛け算を演算として群にはなりません.
R全体には要素0がありますが,掛け算に関して0は逆元をもちません.
したがって,Rは掛け算を演算とした群ではありません.

Rから0を抜いたR^x = R-{0}が掛け算を演算として群となり
これの単位元は「1」です.
したがって,{0}は部分群ではありません.

一方,掛け算を演算として,{0}は群か?
これはOKです.たしかに群の定義は満たします.
まあ,実際は「0で割る」をやってるように「みえる」ので
違和感ありまくりですけどね.
けど・・・実は0+0=0なので足し算を演算としても実は群です.
ぶっちゃけた話,要素数が1の集合は群になるんです.

Rを足し算を演算として群とみなした場合
{0}はこの「足し算を演算とした群R」の部分群であり
{0}の演算は「足し算」です.

これでわかるように
群というのは集合とその上での演算のペアです.
したがって足し算を演算とした場合のRは
(R,+)とするのが誤解を招きません(省略することが多いけど).
このとき
({0},+)は(R,+)の部分群であり,
部分群であれば部分群の単位元は,その「親」の単位元と一致します.

あとは教科書の部分群の定義をよく吟味しましょう.
たぶん,演算*を持つ群G,つまり(G,*)の部分群の定義では
Gの部分集合Hをとって,演算としてはGと同じ「*」をとっていることがわかるはずです
#別の演算をとるならその演算を定義してるはずで,
#そうだったらそれはすでに「部分」群ではない!

最後に例をあげましょう
複素数全体のCは加法で群です.
Rから0をとった集合R^xはCの部分集合です.
だからといって
R^xは(C.+)の部分群ではありません.
しかし,(R^x,*)は群です(*は掛け算).
(C,+)の単位元は0ですが
(R^x,*)の単位元は1です.

いいところこついてるというか
こういうことをきちんと考えるのはいいことだと思います.

>というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は1です。
>ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。

ここが間違え.
R全体は掛け算を演算として群にはなりません.
R全体には要素0がありますが,掛け算に関して0は逆元をもちません.
したがって,Rは掛け算を演算とした群ではありません.

Rから0を抜いたR^x = R-{0}が掛け算を演算として群となり
これの単位元は「1」です.
したが...続きを読む

Q【代数学】部分群の証明

【問題】
群Gの部分群H,Kに対して、共通部分H∩KもGの部分群となることを示せ。

【回答】
H,Kは群Gの部分群である。
よって、群Gの演算が同様に部分群H,Kでも成り立つものである。
また、群の公理から、すべての元に対して、
ex=x=xe
xx'=e=x'x
となる単位元、逆元が存在する。
ここで、a,cがHに含まれ、b,cがKに含まれるものとする(記号が打てなかったので含まれると表記)。
単位元と逆元が存在するはずなので、
a,a',c,c',eがHに含まれ、
b,b',c,c',eがKに含まれることになる。
H∩Kはc,c',eである。
また、部分群H,Kに群Gの演算が成り立ったように、この群にも群Gの演算が成り立つ。
元cには逆元が存在している。
これらのことから、H∩KもGの部分群であると言える。

上のように回答しました。
どなたか添削をお願いします。

Aベストアンサー

大きな問題としては「H∩Kはc,c',eである。」以降がまるでなっていない.

1. 「H∩Kはc,c',eである」が何を言っているのかわからない. c が e が H の元であるならこの文章自体がおかしい. よしんば「c,c',eである」を「{c,c',e} である」と解釈しても, 今度は「H や K の選び方によらず H∩K は (たかだか) 3つの元からなる」と主張していることになって, それはやっぱりおかしい.
2. 「部分群H,Kに群Gの演算が成り立ったように、この群にも群Gの演算が成り立つ」の部分, 後半の「この群」は何を指している? もし H∩K を意味するのだとしたら, この時点で「この群」と書くのは論理的におかしい (H∩K が群となることを示せというのが問題の本質であり, この時点ではまだ群となることを証明していないのだから「群」と書いてはいけない). 一方「この群」が指すものが H∩K ではないとするなら, それがなんなのか明示する必要がある.
3. 「元cには逆元が存在している」という文章で何を言いたいのかわからない. これは上の 2 とも絡むのだが, 2 で「この群」が H∩K を意味するのだと (論理的にはおかしいのだが仮にそのように) したら, 「元cには逆元が存在している」というのは当たり前のことであってわざわざ言わなければならないようなことではない.

もうちょっと突っ込んでおくと, 例えば「また、群の公理から、~となる単位元、逆元が存在する。」のところも x や x', e が何を指すのかきちんと書いておかないとまずいし, そのあとの「a,a',c,c',eがHに含まれ、b,b',c,c',eがKに含まれることになる。」でも a' や b', あるいは e がなんなのかわからない.

さらに, 厳密にいうと「ここで、a,cがHに含まれ、b,cがKに含まれるものとする」もまずい. このように書くと H∩K が空になることはないと保証していることになる (そして実際空になることはあり得ないのだ) が, その理由がどこにも書かれていない. あと, H や K が 1要素であるという場合を無視してしまっている.

大きな問題としては「H∩Kはc,c',eである。」以降がまるでなっていない.

1. 「H∩Kはc,c',eである」が何を言っているのかわからない. c が e が H の元であるならこの文章自体がおかしい. よしんば「c,c',eである」を「{c,c',e} である」と解釈しても, 今度は「H や K の選び方によらず H∩K は (たかだか) 3つの元からなる」と主張していることになって, それはやっぱりおかしい.
2. 「部分群H,Kに群Gの演算が成り立ったように、この群にも群Gの演算が成り立つ」の部分, 後半の「この群」は何を指している? もし H∩...続きを読む

Q【数学】 部分群であることを示せという問題。

とても簡単な問題のはずなのですが、いまいちリカイできないところがあるので、
正しい答えを教えてください。


有理整数のアーベル群Zの部分集合で、とある固定された整数nのすべての倍数の為す部分集合を
nZとかくと、nZはZの部分群となる。これを確認せよ。


というような問題です。

Aベストアンサー

<回答No.1補足

てっきり問題をきちんと写してないだけだと思ったのですが…
もし本当に演算が指定されていないならば,それは問題になっている群が定まっていないということです.回答できるわけがありません.ふつう,ある集合に構造が乗っているときは台となっている集合の記号を流用してしまいますが,これは省略記号であって記号の乱用です.だからこの場合は群Zと言われたら,それは正確にはある演算μが既に定まっていて集合と演算の組(Z, μ)のことを省略してZ = (Z, μ)と書いていると思うべきです.

文脈からするにふつうの有理整数上の加法に関してZは群になっているのでnZはその部分群であることを確かめなさい,という問題に見えますが…

## ちなみにアーベル群(あるいは可換群)というのはすべての元x, yについて xy = yx が成り立つ群のことです.加法群と言ったときは(慣習的には?)ある環について積の構造を忘れてしまったときに和に関してできるアーベル群のことを指します.

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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