微分方程式の解を教えてください

d^2x(t)/dt^2 + 4dx(t)/dt + 3x(t) = 12

この微分方程式の一般解は何になるのでしょうか？
また3x(t)が4x(t)だとどうなりますか？
よろしければ教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2003/07/02 22:24

追伸：

mmkyです。#2のkeyguyさんのご指摘の通り、重根の場合は、書き間違いです。ごめん。
訂正しておきます。
x(t)=(c1+c2*t)e＾-2t
になり、
4*C=12, c=3
結果として答えは、
x(t)=(c1+c2*t)e＾-2t+3
ですね。

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/07/01 14:53

問題の微分方程式の解法はmmkyさんのご説明とおりです。

老婆心ながら、一般的な常微分方程式の詳しい解き方を説明されているＵＲＬがあります。一度覗かれて、そこに載っている練習問題を(答えを見ながらでも)解いてみられてはいかがでしょうか。基礎的な力がつくと思いますよ（老婆親切かな）。

参考URL：http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bibun0. …

No.2 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/01 09:54

c1+c2はc1+c2tの書き間違いでは？

No.1 回答者： mmky 回答日時： 2003/07/01 09:17

参考程度に

d^2x(t)/dt^2 + 4dx(t)/dt + 3x(t) = 12 --(1)
の解は、(1)の特別解を一つ求め
d^2x(t)/dt^2 + 4dx(t)/dt + 3x(t) =0
の一般解に加えたものが一般解になりますね。

d^2x(t)/dt^2 + 4dx(t)/dt + 3x(t) =0
dx(t)/dt=p と置けば、
p＾2+4p+3=0
p={-4±√{16-12)}}/2
={-2±1}=-1, -3
一般解は、
x(t)=c1*e＾-t+c2*e＾-3t

右辺は定数なので、
特別解をx=C と置けば、
d^2x(t)/dt^2 + 4dx(t)/dt + 3x(t)=3*C=12
C=4,　x=4, は特別解ですね。

だから、
x(t)=c1*e＾-t+c2*e＾-3t+4
が答えになりますね。

4x の場合は、
p＾2+4p+4=0
p={-4±√{16-16)}}/2
=-2　重根　ですから
一般解は、
x(t)=(c1+c2)e＾-2t
になり、
4*C=12, c=3
結果として答えは、
x(t)=(c1+c2)e＾-2t+3
という感じでしょうかね。
参考程度かな。